在处理剩余定理之前,您可能需要重新考虑长除法(也称为合成除法)和 二次方程。就像数字一样,多项式可以除以数字。
余数定理是一个有用的数学定理,可用于以整洁而快速的方式分解任何程度的多项式。
剩余定理指出,当将多项式P(x)除以任何因子(x-a)时;这不一定是多项式的因数;您将获得一个新的较小的多项式和一个余数,该余数是在x = a处P(x)的值,即P(a)
余数定理的作用是,多项式一次可被其因子整除,从而获得较小的多项式和零的余数。这提供了一种简单的方法来测试值a是否为多项式P(x)的根 。
例如,给定多项式P(x),并且还假设a是多项式的根,则当P(x)除以因子(x-a)时,结果应为较小的多项式P 1( x),其余为零。
以下是一个证明余数定理的例子
证明X = 1是的根部P(X) ,
解:
这意味着x = 1是多项式P(x)的根,而(x-1)是P(x)的因数
因此,如果我们将P(x)除以(x-1),我们应该得到一个新的较小的多项式,并且余数为零:
剩余定理的例子
合成除法的第一步是按以下格式排列多项式和因子。该因数是除数,在外部,而多项式是被除数,在除法条下面。
下一步是将多项式的第一项(第一项应该是具有最高幂的项)除以因子的x部分。在这种情况下,将x 3除以x,得到x 2,然后将其写在分隔条的顶部。
接下来,你乘上你的整个除数顶端写,在这种情况下,术语你乘X 2的(X - 1)得到(X 3 - X 2),然后您可以减去从多项式分隔条为下如下所示。
通过减去,可以消除具有最大指数的项,从而减小多项式的大小,该多项式为余数,如下所示:
现在我们有了一个新的多项式,我们将对其重复第二步。在这个例子中,我们把-5X 2由X和添加其结果是-5X于术语已经在分割杆的顶部
接下来,我们重复第三步,将除法栏顶部的结果(仅是最近添加的结果)乘以整个除数,然后从除法 多项式中减去所得结果,如下步骤所示:
再次在除法线下面有一个新的多项式。
您可能已经猜到了,我们通过将多项式的第一项除以除数的x部分来重复第二步,并将结果添加到除法栏顶部已经存在的任何内容上。
接下来,我们将最近添加的项乘以整个除数,然后再次从股息多项式中减去结果。
现在,重复减法步骤以获得新的多项式。
此处的余数为零,因为我们已将P(x)完全除以 因子(x-1)。完成此步骤后,您完成了,再将其除以零将得出零。
现在,让我们尝试使用余数定理找到P(-1)的值,以查看得到的结果。我们已经知道x = -1不是多项式P(x)的根
第一步与前面的示例相同;将除数和除数分别设置在分隔条的外部和内部。
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