在数学中，微分方程是包含一个或多个函数及其导数的方程。函数的导数定义点处函数的变化率。它主要用于物理，工程，生物学等领域。微分方程的主要目的是研究满足方程的解，以及其性质。在此处了解如何求解微分方程。
解决微分方程式最简单的方法之一就是使用显式公式。在本文中，我们讨论微分方程的定义，类型，方法，微分方程的阶数和阶数，带实词示例的普通微分方程和已解决的问题。
微分方程定义
微分方程是包含一个或多个词语和一个可变（即，因变量）的衍生物相对于所述其他变量的方程（即，自变量）
dy / dx = f（x）
这里“ x”是一个自变量，“ y”是一个因变量
例如，dy / dx = 5x
微分方程包含的导数可以是偏导数也可以是普通导数。导数表示变化率，并且微分方程描述相对于另一个量的变化连续变化的量之间的关系。有许多微分方程式可以找到导数的解。
微分方程的类型
微分方程可以分为几种类型
- 常微分方程
- 偏微分方程
- 线性微分方程
- 非线性微分方程
- 齐次微分方程
- 非齐次微分方程
微分方程解
有两种方法可以找到微分方程的解。
- 变量分离
- 整合因子
当微分方程可以用dy / dx = f（y）g（x）的形式写成时，变量的分离就完成了，其中f仅是y的函数，而g仅是x的函数。取初始条件，将此问题改写为1 / f（y）dy = g（x）dx，然后在两侧积分。
当微分方程的形式为dy / dx + p（x）y = q（x）时，使用积分因子技术，其中p和q都是x的函数。
一阶微分方程的形式为y'+ P（x）y = Q（x）。其中P和Q都是x的函数和y的一阶导数。高阶微分方程是包含未知函数的导数的方程，该函数可以是偏导数也可以是常导数。可以以任何顺序表示。
微分方程的阶数
微分方程的阶数是方程中存在的最高阶导数的阶数。这里给出了一些针对不同阶微分方程的例子。
- dy / dx = 3x + 2，等式的阶数为1
- （d 2 y / dx 2）+ 2（dy / dx）+ y =0。阶数为2
- （dy / dt）+ y = kt。顺序是1
一阶微分方程
您可以在第一个示例中看到，它是一阶微分方程，其阶数等于1。所有以导数形式存在的线性方程都是一阶的。它只有一阶导数，例如dy / dx，其中x和y是两个变量，并表示为：
dy / dx = f（x，y）= y'
二阶微分方程
包含二阶导数的方程是二阶微分方程。它表示为；
d / dx（dy / dx）= d 2 y / dx 2 = f”（x）= y”
微分方程的度
该微分方程的程度是最高的阶导数，其中原始方程式在衍生物例如为y多项式方程的形式表示”，Y”，Y””的功率，等等。
假设（d 2 y / dx 2）+ 2（dy / dx）+ y = 0是一个微分方程，因此该方程的阶次为1。在这里看到更多示例：
- dy / dx +1 = 0，度为1
- （y”'）3 + 3y” + 6y'– 12 = 0，度为3
常微分方程
一个常微分方程涉及函数及其导数。它仅包含一个自变量和相对于该变量的一个或多个导数。
常微分方程的阶数定义为方程中出现的最高导数的阶数。n阶ODE的一般形式为
F（x，y，y'，....，y n）= 0
应用领域
让我们实时查看一些微分方程的应用。
1）微分方程描述了各种指数增长和衰减。
2）它们还用于描述投资回报率随时间的变化。
3）它们在医学领域用于模拟癌症的生长或疾病在体内的传播。
4）电力的运动也可以借助它来描述。
5）他们帮助经济学家找到最佳的投资策略。
6）波浪或摆的运动也可以用这些方程来描述。
工程学中的其他各种应用包括：导热分析，在物理学中，它可以用来理解波的运动。该常微分方程可以用作工程领域中的应用，以查找桥梁各部分之间的关系。
线性微分方程实际例子
为了理解微分方程，让我们考虑这个简单的例子。您是否曾经想过为什么在正常条件下放一杯热咖啡会变凉？根据牛顿的说法，热体的冷却与温度T 和周围温度T 0 之间的温差成正比。这个关于数学的陈述可以写成：
dT / dt ∝（T – T 0）…………（1）
这是线性微分方程的形式。
引入比例常数k，上式可写为：
dT / dt = k（T – T 0） …………（2）
在这里，T是身体的温度， t是时间，
T 0是周围的温度，
dT / dt 是身体的冷却速度
例如：dy / dx = 3x
在此，微分方程包含一个涉及变量（因变量y）和另一个变量（因变量x）的导数。微分方程的类型为：
1.一个常微分方程包含一个自变量及其导数。它通常被称为ODE。常微分方程的一般定义为：给定一个F，一个函数os x和y以及y的导数，我们得到
F（x，y，y'…..y ^（n1））= y（n）是n阶的显式常微分方程。
2.包含一个或多个自变量的偏微分方程。
关于微分方程的常见问题
什么是微分方程？
在数学中，微分方程是具有一个或多个函数导数的方程。函数的导数由dy / dx给出。换句话说，它被定义为包含一个或多个因变量相对于一个或多个自变量的导数的方程。
提及各种类型的微分方程。
不同类型的微分方程是：
普通微分方程
偏微分方程
齐次微分方程
非齐次微分方程
线性微分方程
非线性微分方程
微分方程的阶数是多少？
微分方程中存在的最高阶导数的阶数称为方程的阶数。如果微分方程的阶为1，则称为一阶。如果方程的阶次为2，则称其为二阶，依此类推。
微分方程有什么用？
微分方程的主要目的是在整个域上计算函数。它用于描述随时间的指数增长或衰减。它具有预测我们周围世界的能力。它广泛应用于物理，化学，生物学，经济学等各个领域。
更新:20210423 104202
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