极地坐标和笛卡儿坐标转换公式及计算实例

笛卡儿坐标系也称直角坐标系
使用笛卡尔坐标，我们标记一个点，以及有多远，它是：

极坐标
使用极坐标，我们标记一个点的距离有多远，和它是什么角度

转换
从一个转换到另一个我们将使用这个三角形

极地坐标和笛卡儿坐标

从笛卡尔坐标转换到极坐标
当我们知道笛卡尔坐标（x，y）的一个点，我们希望它在极坐标（r，θ）我们用两个已知的边解决了一个直角三角形。
示例︰在极坐标中，(12，5) 是什么？

利用毕达哥拉斯定理找到长边（斜边）：

答：这个点（(12,5)是（13，22.6°）是极坐标。

什么是tan-1？

它是正切函数：

正切以角度为参数，给我们一个比例，
反正切需要一个比例（如“5 / 12”），并给我们一个角度。

所以，将直角坐标（x，y）转为极坐标（r，θ）

r = √( x²+y²)
θ = tan^-1(y/x)

注：计算器可能给的值不正确tan-1()当X或Y是负的…见下面的

从极坐标转换到笛卡尔

当我们知道一个点的极坐标（r，θ），我们希望它在直角坐标中（x，y）我们解决直角三角形与已知长边和角

例如：在笛卡尔坐标中的（13，22.6）？

使用余弦函数 x:	cos( 22.6°) = x/13
重新安排解决:	x = 13×cos(22.6°)
	x = 13×0.923
	x = 12.002...

使用正弦函数为Y:	sin(22.6°) = y/13
重新安排和解决:	y = 13 × sin( 22.6°)
	y = 13 × 0.391
	y = 4.996...

答：点（13，22.6）几乎完全（5，12）在直角坐标系中。

因此，将从极坐标（r，θ）转为直角坐标（x，y）

x = r × cos( θ )
y = r × sin( θ )

但是，x和Y的负值呢？

四个象限

当我们包括负值时，X和Y轴分裂

空间分为4个部分：

象限 I, II, III 和 IV

（他们在逆时针方向编号）

从极地到笛卡尔坐标转换时一切都很好:

例如：在笛卡尔坐标中的（12，195）？

r = 12 和 θ = 195°

x = 12 × cos(195°)
x = 12 × -0.9659...
x = -11.59 到 2 小数位数
y = 12 × sin(195°)
y = 12 × -0.2588...
y = -3.11 到 2 小数位数

因此，这一点是(-11.59, -3.11),这是在象限 III

但是，当从笛卡尔坐标转换到极坐标…

计算器可以给错误的值tan^-1

这完全取决于哪个象限点!用这个来解决:

象限	值为tan^-1
I	使用计算器值
II	增加180°到计算器的值
III	增加180°到计算器的值
IV	增加360°到计算器的值

例子: P = (-3, 10)

P在第二象限

r = √((-3)² + 10²)
r = √109 = 10.4 到 1 小数位数

　
θ = tan^-1(10/-3)
θ = tan^-1(-3.33...)

计算器值为 tan^-1(-3.33...)是-73.3°

第二象限的规则是：添加180到计算器值

θ = -73.3° + 180° = 106.7°

所以点的极坐标(-3, 10) are (10.4, 106.7°)

例子: Q = (5, -8)

Q是在第四象限

r = √(5² + (-8)²)
r = √89 = 9.4 到 1 小数位数
θ = tan^-1(-8/5)
θ = tan^-1(-1.6)

计算器值为 tan^-1(-1.6)是-58.0°

计算器值为 tan^-1(-1.6) 是 -58.0°

象限IV i的规则是: Add 360° 到计算器值

θ = -58.0° + 360° = 302.0°

所以点的极坐标 (5, -8) 都是 (9.4, 302.0°)

总结

从极坐标转换 (r,θ) 在笛卡尔坐标系 (x,y) :

x = r × cos( θ )
y = r × sin( θ )

从笛卡儿坐标转换 (x,y) 到极坐标 (r,θ):

r = √(x²+y²)
θ = tan^-1(y/x)

这个值tan^-1( y/x ) 可能需要进行调整:

象限I: 使用计算器值
象限II: Add 180°
象限III: Add 180°
象限 IV: Add 360°

也可以用这个计算换算 极坐标与直角坐标的转换

更新:20210423 104007