塞瓦定理的证明与对立

塞瓦定理守于欧几里得平面几何中的三角形的一个定理。考虑一个三角形的ABC。令CE，BG和AF为形成并发点（即D）的cevian。

Ceva’s-Theorem

塞瓦定理的陈述

然后根据塞瓦定理，

$\frac{A G}{G C} \times \frac{C F}{F B} \times \frac{B E}{E A} = 1$

同样，上述的相反是正确的，即如果，则线AF，BG，CE在D处形成并发点。

塞瓦定理证明

令h1和h2分别为三角形ABG，BGC和ADG，GDC的高度。让三角形的面积用封闭的方括号表示，例如[ABG]，[BGC]等。

当构造h1和h2时，[BGC]等于0.5（GC）（h1），[ABG]等于0.5（AG）（h1）。[DGC]等于0.5（GC）（h2），[ADG]等于0.5（AG）（h2）。
就是说
QQ图片20200924204618

QQ图片20200924204642

将所有这三个方程相乘，

QQ图片20200924204719
$\frac{A G}{G C} \times \frac{C F}{F B} \times \frac{B E}{E A} = \frac{[B D A]}{[B D C]} \times \frac{[A D C]}{[B D A]} \times \frac{[B D C]}{[A D C]}$

塞瓦定理的逆转

Cevas-Theorem-Converse

我们有，

$\frac{(A G)}{(G C)} \frac{(C F)}{(A B)} \frac{(B E)}{(E A)} = 1$

CE，BG和AF 塞瓦定理并发。

估计塞瓦定理 CE和AF在D相交，并假设通过D的塞瓦定理是BH。所以根据塞瓦定理，

$\frac{A H}{H C} \frac{C F}{F B} \frac{B E}{E A} = 1$

如假设

$\frac{A G}{G C} \frac{C F}{F B} \frac{B E}{E A} = 1$

根据传递属性，我们有

$\frac{A H}{H C} \frac{C F}{F B} \frac{B E}{E A} = \frac{A G}{G C} \frac{C F}{F B} \frac{B E}{E A}$

通过简化

$\frac{A H}{H C} = \frac{A G}{G C}$

当H和G说明同一点时，它成立。因此，BG，CE和AF应该并发。