复数乘法

   复数 是实数和虚数的组合：

   实数是我们日常用的数.

   例子：12.38、½、0、−2000

  虚数的平方是个负数：

   "单位"虚数的平方等于 −1

i² = −1

   例子：5i、−3.6i、i/2、500i

   复数是实数和虚数的组合

   例子：3.6 + 4i, −0.02 + 1.2i, 25 − 0.3i, 0 + 2i

  乘法
  乘复数：

  第一个复数的每一部分都乘以
  第二个复数的每一部分

  想："首、外、内、尾"（去二项式乘法查看更多）：

 

	首： a × c 外： a × di 内： bi × c 尾： bi × di
(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi2

  像这样：

  再来一个例子：

  捷径！

  用这个规则：

(a+bi)(c+di) = (ac−bd) + (ad+bc)i

  为什么这规则可行？

  它不过是用"首外内尾"方法：

(a+bi)(c+di)	=	ac + adi + bci + bdi2		首外内尾方法
	=	ac + adi + bci − bd		（因为 i2=−1）
	=	(ac − bd) + (ad + bc)i		（合并同类项）

这就得到 (ac − bd) + (ad + bc)i  这个公式。

  用这个公式比较快捷，但如果你忘了，就用“首外内尾”方法。

  现在我们来看看在复数平面上乘法是怎样的。

  复数平面

这是复数平面：

它是复数的平面！

我们可以画一个复数，像 3 + 4i ： 位置是 向右（实轴） 3 单位， 向上（虚轴） 4 单位。

   乘以 i

这是乘以 i的运作： (3 + 4i) x i = 3i + 4i2 因为 i2 = −1，我们得到： 3i + 4i2 = −4 + 3i

  酷的是……这和旋转一个直角（90°或 π/2）是相同的。

  难道只是个巧合吗？

再试试乘以 i： (−4 + 3i) x i = −4i + 3i2 = −3 − 4i 再来一次： (−3 − 4i) x i = −3i − 4i2 = 4 − 3i 再来一次： (4 − 3i) x i = 4i − 3i2 = 3 + 4i

  惊艳！每次乘以 i，图都旋转了一个直角，直至回到原来位置。

  自己选一个负数来试试，这是很好的练习。

  我们来具体看看角度。

   极型

 

复数 3 + 4i：
同一复数，但 以极型表达： （距离和角度）

 

  复数 3 + 4i 可以表达为距离（5）和角度（0.927弧度）。

  怎样转换：

例子：复数 3 + 4i

  我们可以用直角坐标――极坐标转换:

• r = √(x² + y²) = √(3² + 4²) = √25 = 5
• θ = tan^-1 (y/x) = tan^-1 (4/3) = 0.927 (（保留3位小数）

 

  我们也可以用极坐标――直角坐标转换：

• x = r × cos( θ ) = 5 × cos( 0.927 ) = 5 × 0.6002... = 3 （够准了）
• y = r × sin( θ ) = 5 × sin( 0.927 ) = 5 × 0.7998... = 4 （够准了）

  我们经常把复数以极型写成

x + iy	=	r cos θ + i r sin θ
	=	r(cos θ + i sin θ)

  "cos θ + i sin θ"经常被简写为 "cis θ"，所以：

x + iy = r cis θ

   cis 是 cos θ + i sin θ 的简写

我们可以写：

3 + 4i = 5 cis 0.927

   在某些领域，像电子， "cis" 是经常用到的！

   更多乘法

   再试一个乘数：

 例子： 1+i 乘以 3+i

(1+i) (3+i)	=	1(3+i) + i(3+i)
	=	3 + i + 3i + i2
	=	3 + 4i − 1
	=	2 + 4i

  在复数平面上的结果是这样：

   用极型来表达这些复数会更有意思：

 

 

 

   平方

  计算复数的平方，是把它乘以自己：

• 乘幅度： 幅度 × 幅度 = 幅度²
• 加角度： 角度 + 角度 = 2，所以把角度加倍

结果： 幅度平方，角度加倍。

  总的来说，一个复数：

r(cos θ + i sin θ)

  取平方后成为：

r²(cos 2θ + i sin 2θ)

(幅度 r 取平方，角度 θ 加倍。）

  以 "cis" 方式写：(r cis θ)² = r² cis 2θ)

           

棣莫弗公式

数学家亚伯拉罕·棣莫弗发现了这个公式（指数n为整数）：

[ r(cos θ + i sin θ) ]ⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ)

（幅度成为 rⁿ，角度成为 nθ。）

   用 "cis" 方式来写：

(r cis θ)ⁿ = rⁿ cis nθ

 例子：(1+i)⁶是什么

  转换 1+i 为 极型：

• r = √(1² + 1²) = √2
• θ = tan^-1 (1/1) = π/4

  以 "cis" 格式写： 1+i = √2 cis π/4

  指数是 6，r 便是 r⁶，θ 便是 6θ：

(√2 cis π/4)⁶ = (√2)⁶ cis 6π/4 = 8 cis 3π/2

  幅度 成为 8，角度成为 3π/2 （=270°）

  也等于 0−8i（如图）

   概要

• 用 "首外内尾" 来乘复数，
• 或用这公式：
  (a+bi)(c+di) = (ac−bd) + (ad+bc)i
• 或用极型表达复数，然后乘幅度，加角度。
• 若指数是整数，可以用棣莫弗公式：
  [ r(cos θ + i sin θ) ]ⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ)
• 极型 r cos θ + i r sin θ 经常被简写为 r cis θ

更新:20210423 104213