伽罗华的一生成就

十九世纪的数学家对于数学本质的看法在态度上与前人有了根本的改变。新的重点在于强调数学体系的一般性抽象性质。这种「纯」数学所关切的是数学体系的结构而不是它们具体的内涵。十九世纪的数学家变得对数学的结果之有效性比其真确或实用性更为关切。换句话说，就是把理论兴趣置于实用兴趣之上。群论概念就是这种抽象数学结构中最重要的概念。虽然有好些数学家从事这方面的研究和发展，但是法国天才数学家伽罗华（Evariste Galois, 1811～1832）却是众所公认的群论概念的主要开拓者。

群论的起源可追溯至中世纪欧洲致力于解次数大于二的代数方程式的数学家们 ^注1 。据数学史的记载，巴比伦人已经知道如何解二次方程式，文艺复兴时期的数学家卡达诺 (Cardano) 和塔塔格里亚 (Tartaglia) 首次成功地解决了三次和四次方程式。因此人们自然期望能发现五次、六次和更高次代数方程式的解法，但却遭受重大的困扰。自十九世纪初叶许多数学家，包括伽罗华，都致力于这问题的研究。当其它的人还在苦心尝试寻求适当的解法的时候，伽罗华持着新看法，怀疑这种解法是否确实存在。他别辟蹊径，转向把问题抽象化，研究方程式及其解的一般性质。这种探究导致「群」的结构，包括元素（如数字或点），一个运算（如加号），和四种必须满足的特殊性质。群的概念证实了伽罗华的怀疑，即五次及更高次的代数方程式的一般代数解法并不存在 。

伽罗华于1811年诞生于巴黎近郊一个名为波格拉莱 (Bourg-la-Reine) 的小城镇。他的双亲和其它亲人并没有显示不寻常数学能力的迹象。他的父亲曾为波镇的镇长，是个热爱自由痛恨暴政的人。母亲是个独立思考者，也非常痛恨专制。伽罗华在十一岁以前的生活非常平淡，他的母亲是唯一的老师。他的不快乐经验起始于十二岁时进入巴黎正式的学校。在刘易斯拉格尔 (Louis-la-Grand) 的学校中充满监狱般的气氛，出于学监的专横，学生们的情绪更形抑压。学生以拒绝在校内小教堂唱歌表示抗议。学监为了这件事。采取强硬手段，断然开除了数名学生。伽罗华深感震惊和愤怒，在心中留下一个无法抹灭的印象。

第二年，他由于对拉丁文和希腊文不感兴趣，成绩很糟糕而被留级。虽然他对拉丁文和希腊文感到乏味，伽罗华却对数学有深厚的兴趣。他在十五岁时，就曾很认真仔细地研究过拉格朗吉 (Lagrange)、高斯 (Gauss)、阿贝尔 (Abel) 和柯西 (Cauchy) 等大数学家的论述，变得很熟练那些通常只有数学专家才懂的题材。但是很讽刺地，他的学校功课并没有显现他的真才和成就。虽然伽罗华能心中默想就解决困难的数学问题，但是他的老师却仍要求他把那些对他而言是简单得很的题目详细地写下来。由于他的恃才傲物，对于能力不如他的同学感到无法忍受而显得不耐烦，处处给他人的感觉是不凡和古怪，因此他和他的老师以及同学间似乎很疏远。

十六岁时，伽罗华想要进入工艺学校 (Ecole Polytechnique) 深造，这是一间帮助很多数学家成名的著名学府。由于伽罗华的入学考试成绩并不好，学术界失去一个识真才的机会。他虽感到非常失望，却并没有因此而失去信心。伽罗华十七岁时发表第一篇论文。他把自己关于解方程式的好些创见写下来送到名重士林的科学院。院士柯西答应伽罗华一定会发表他的论文。但是柯西不但忘了发表该篇论文，甚至不知把它弄到那里去了，十八岁的时候，伽罗华再次投考工艺学校，但挺不幸又遭败绩。他超人一等的数学能力，再次使他蒙受不利。在这第二次考试，有一位口试官一味固执地持着错误的概念，伽罗华据理力争，忍无可忍，拿起黑板擦掷出，板擦命中目标：口试官的脸，从此他与工艺学校绝缘。

十九岁那年，伽罗华遭受另一次无情的打击。他的父亲，当时仍为波镇镇长，由于支持镇民反对地方教士，遭受教会的迫害，因为不堪虐待，愤而自杀，在葬礼进行中发生了暴动，有一个教士被石头砸得皮破血流。这一幕情景加深了年轻的伽罗华对教会缺乏正义的怨怼。虽然心中非常沮丧和苦闷，日子却还是要过下去。终于他取得了师范学校 (Ecole Normale) 的入学资格，准备教书生涯。伽罗华继续独立研究，又有个重大的发现，他把成果呈递给科学院的秘书长傅立业 (Fourier)。傅氏把他的论文拿回家研究，但是不久却去世了，那篇论文也跟着失去踪影。伽罗华评论说：「天才常遭受社会不公平的排挤，平庸的人却反而处处得利。」他变得开始耽溺于政治活动，与一个激进组织交往密切。在1830年的「七月节」，巴黎爆发了革命。伽罗华在那两次革命行动中成为一个热烈的拥护者和首要份子。他由于在校刊中发表激烈言论，抨击校长是革命的迫害者，因而受到开除处分。由于对国事是非的不满和觉醒，伽罗华参加了国民兵。此后他做了最后一次敲开学术界大门的尝试，写了一篇题目是「论方程式可用根式解的条件」的文章送交波瓦松 (Poisson)，却遭波氏以「无法理解」为由退还给他。

1831年，在一次聚会中，伽罗华提议为国王路易斯菲力普 (Louis Philippe) 干杯，被解释成威胁国王的生命而被捕下，后获无罪释放。在法庭上，他曾大声指责政治不公平，但为通人情世故的法官劝止。在同一个月内，他因故第二次被捕。这次他被判有罪，处六个月有期徒刑，后来被假释出狱。接着，伽罗华首次恋爱，爱上一个爱卖弄的女子。他又是像以往一样的倒霉，这件事并没维持多久。过了不久，他和他的两个政敌为了这位前位女友的「荣誉」而被迫接受决斗。这位天才横溢的青年深知自己会在次日的决斗中丧生，因此当晚持笔疾书，把他在数学上的发现记载下来，这份遗书是留给他的朋友齐瓦利尔 (Chevalier)，在遗书的最后一段，伽罗华表示希望把他的论文在《Revue Encyclopedique》上发表。

1832年5月30日伽罗华在手鎗决斗中被射穿肚皮。他被留在那里等死，后来有个农夫路经该地，把他送到医院。二十一岁的他于入院第二天去世。

遗书在伽罗华死的那年刊于九月份的《Revue Encyclopedique》，不过当时并没有引起人们的注意。虽然遗稿中另二篇也曾预告要在该杂志发表，可是后来也无下文。一直到十四年后，这些遗稿流到大数学家路易唯尔 (Joseph Liouville) 的手里，才将之刊行。

其后大约过了四十年，焦丹 (Camille Jordan) 研读了伽氏的方程式论文，焦氏因而写出了《交换论》(Traite des substitution, 1870)。

逐渐地，人们发现伽罗华在决斗前夕所写的三十二页纸实在意味深长，颇具价值。它确实让数学家们忙了一阵子，事至今日，还有人集中心智更进一步地研究探讨伽罗华首创的群论。除了这些专门的发现，伽罗华还带头把数学导向抽象观念的研究。他的理论即抽象化的群概念被应用于有形的实体，例如物理学和化学在分析分子形状中即采用群论的概念。

伽罗华的那些卓越超群的意念大大地领先与他同时代人们的思考，以致未能为当代数学家所赏识，实为天才数学家的悲哀.