积分学-不定积分-定积分 -微积分-黎曼积分-公式

积分学
不定积分

定义：函数 f（x）是一个函数的原函数ƒ(x)如果所有的X在区域ƒ

F'(x) = ƒ(x)

ƒ(x) dx = F(x) + C, 这里 C 是一个常数.

基本积分公式:
一般和对数积分:

1. kƒ(x)dx = k ƒ(x)dx	2.[ƒ(x)g(x)]dx =ƒ(x)dxg(x) dx
3. k dx = kx + C	4. xn dx = + C, n-1

s(t) = v(t) dt = (-32t + v0) dt = -16t2 + v0t + C2

可分离的微分方程
它有时是可能以分离的变量和写一个微分方程的形式

ƒ(y) dy + g(x) dx = 0 通过集成:

ƒ(y) dy + g(x) dx = C

例:	解决

	2x dx + y dy = 0
	x2 + = C

增长和衰变中的应用
通常，变化率或一个变量Y是与变量本身成比例。

= ky		独立的变量
= k dt		i整合双方
ln \|y\| = kt + C1
y = Cekt	指数增长和衰减规律
	指数增长时 k 0
	指数衰变时 k 0

定积分的定义:

定积分是黎曼和的极限ƒ 在区间[a, b]

ƒ(x) dx

定积分的性质:

1. [ƒ(x) + g(x)] dx = ƒ(x) dx + g(x) dx

2. kƒ(x) dx + kƒ(x) dx

3. ƒ(x) dx = 0

4. ƒ(x) dx = -ƒ(x) dx

5. ƒ(x) dx + ƒ(x) dx = ƒ(x) dx

6. If ƒ(x) g(x) on [a, b], then ƒ(x) dx g(x) dx

定积分的逼近:

黎曼积分

ƒ(x)dx = Sn =

梯形法则

ƒ(x)dx [ƒ(x0) + ƒ(x1) + ƒ(x2) + ... + ƒ(xn-1) + ƒ(xn)]

微积分基本定理:
如果 ƒ 是连续[a，b] ，和F' = ƒ，然后

ƒ(x) dx = F(b) - F(a)

微积分的第二基本定理
如果 ƒ 在一个开放的间隔连续,则在间隔中的每一个x，

ƒ(t) dt = ƒ(x)

曲线下的面积

If	ƒ(x)0 on [a, b]	A = ƒ(x) dx
If	ƒ(x)0 on [a, b]	A = -ƒ(x) dx
If	ƒ(x)0 on [a, c] and	A = ƒ(x) dx - ƒ(x) dx
	ƒ(x)0 on [c, b]

例:	由图形的图形所包围的区域 y = 2x2 和 y = 4x + 6 是:
	(A) 76/3
	(B) 32/3
	(C) 80/3
	(D) 64/3
	(E) 68/3

答案:.	交叉口的图：	2x2 = 4x + 6
		2x2 - 4x + 6 = 0
		x = -1, 3
	A = 4x + 6 - 2x2
	= (2x2 + 6x - )
	= 18 + 18 - 18 - (2 - 6 + 2/3)
	= 64/3

区间上函数的平均值

ƒ(x) dx

立体的体积已知截面
1.对截面的 A(x) 地区，采取垂直于 x 轴：

V = A(x) dx

2.对截面的 A(y) 地区，采取垂直于 y 轴：

V = A(y) dy

固体转体体积：圆盘法

V = r2 dx
绕 x 轴旋转：	V = [ƒ(x)]2 dx
绕 y 轴旋转：	V = [ƒ(y)]2 dy

固体转体体积：垫圈法

V = (ro2 dx - ri2 ) dx
绕 x 轴旋转：	V = [(ƒ1(x))2 - (ƒ2(x))2] dx
绕 y 轴旋转：	V = [(ƒ1(y))2 - (ƒ2(y))2] dy

例:	查找由该区域范围内的区域的体积y-轴, y = 4, 和 y = x2
	如果它是旋转的线 y = 6.

	[(x2 - 6)2 - (4 - 6)2 ]dx
	= 立方单位

固体转体体积：圆柱壳方法

V = 2rh dr
绕 x 轴旋转：	V = 2xƒ(x) dx
绕 y 轴旋转：	V = 2yƒ(y) dy

完于2016年9月9日

更新:20210423 104004