圆形方程有两种。他们是
1.圆的标准方程
2.圆的一般方程
圆的标准方程
如果我们知道圆的半径和中心的坐标,则可以在坐标平面中写一个圆的方程。假设圆的半径为r,中心为(h,k)。
令(x,y)为圆上的任意点。(x,y)与(h,k)之间的距离为r。
因此,我们可以使用距离公式。
将两边平方,以找到半径为r且中心为(h,k)的圆的标准方程式。
如果中心是原点,则(h,k)=(0,0)
因此,标准方程为
x 2 + y 2 = r 2
圆的一般方程
下面给出的方程是圆方程的一般形式。
x 2 + y 2 + 2gx + 2fy + c = 0
中心=(-g,-f)
半径= √[g 2 + f 2 -c]
编写圆的标准方程
范例1:
编写以(-4,0)为中心,半径为7的圆的标准方程式。
解决方案:
圆的标准方程。
(x-h)2 +(y-k)2 = r 2
塞(h,k)=(-4,0)和r = 7。
[x-(-4)2 ] +(y-0)2 = 7 2
简化。
(x + 4)2 + y 2 = 49
范例2:
写出一般方程为的圆的标准方程
X 2 + Y 2 - 4X + 6Y - 12 = 0
解决方案:
为了找到圆的标准方程,我们需要知道中心和半径。
让我们从给定的圆的一般方程式中找到中心和半径。
比较中
x 2 + y 2 + 2gx + 2fy + c = 0
和
X 2 + Y 2 - 4X + 6Y - 12 = 0,
我们有
2g =-4 -----> g = -2
2f = 6 -----> f = 3
c = -12
中心=(-g,-f)=(2,-3)
半径=√[g 2 + f 2 -c]
半径=√[(-2)2 + 3 2 -(-12)]
半径= √[4 + 9 + 12]
半径=√25
半径= 5
圆的标准方程:
(x-h)2 +(y-k)2 = r 2
塞(h,k)=(2,-3)且r = 5。
(x-2)2 + [y-(-3)2 ] = 5 2
简化。
(x-2)2 +(y + 3)2 = 25
例子3:
点(1,2)在以(5,-1)为中心的圆上。写出圆的标准方程。
解决方案:
为了找到圆的标准方程,我们需要知道中心和半径。 中心已经给出,我们需要找到半径。
使用距离公式,我们有
半径= √[(5 - 1)2 +( - 1 - 2)2 ]
半径=√[4 2 +(-3)2 ]
半径=√[16 + 9]
半径=√25
半径= 5
圆的标准方程:
(x-h)2 +(y-k)2 = r 2
塞(h,k)=(5,-1)且r = 5。
(x-5)2 + [y-(-1)2 ] = 5 2
简化。
(x-5)2 +(y + 1)2 = 5 2
画圆
如果知道圆的方程,则可以通过标识圆的中心和半径来绘制圆的图形。
范例:
圆的方程是
(x + 2)2 +(y-3)2 = 9
画出圆圈。
解决方案:
要绘制圆图,我们需要知道圆的半径和中心。
重写方程式以找到中心和半径。
(x + 2)2 +(y-3)2 = 9
[x-(-2)2 ] +(y-3)2 = 3 2
因此,中心为(-2,3),半径为3。
要绘制圆图,请将指南针的点放在(-2,3),将半径设置为3个单位,然后旋转指南针以绘制一个完整的圆。
应用圆图
范例:
在舞台上布置了一排灯。每盏灯照亮舞台上的圆形区域。使用坐标平面以舞台的角点为原点来布置灯光。方程 (x-13)2 +(y-4)2 = 16表示光碟之一。
(i)绘制光碟图。
(ii)三个演员的位置如下:
亨利(11,4)
乔琳(8,5)
马丁(15,5)
光碟里有哪些演员?
解决方案:
解决方案(2):
要绘制光碟图,我们需要知道圆的中心和半径。
重写方程式以找到中心和半径。
(x-13)2 +(y-4)2 = 16
(x-13)2 +(y-4)2 = 4 2
因此,中心为(13,4),半径为4。
圆心为(13,4),半径为4的圆,如下所示(光碟图)。
解决方案(2):
上图显示亨利和马丁都在光碟中。