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    圆方程

    发布时间:2020-10-09 13:50:45 作者:冬青好 

    圆形方程有两种。他们是

    1.圆的标准方程

    2.圆的一般方程

    圆的标准方程

    如果我们知道圆的半径和中心的坐标,则可以在坐标平面中写一个圆的方程。假设圆的半径为r,中心为(h,k)。 

    令(x,y)为圆上的任意点。(x,y)与(h,k)之间的距离为r。

     20201009134558.png

    因此,我们可以使用距离公式。

    20201009134724.png

    将两边平方,以找到半径为r且中心为(h,k)的圆的标准方程式。

    20201009134805.png

    如果中心是原点,则(h,k)=(0,0)

    因此,标准方程为

    x 2  + y 2   = r 2

    圆的一般方程

    下面给出的方程是圆方程的一般形式。

    x 2  + y 2  + 2gx + 2fy + c = 0

    中心=(-g,-f)

    半径=   √[g 2  + f 2  -c]

    编写圆的标准方程

    范例1: 

    编写以(-4,0)为中心,半径为7的圆的标准方程式。

    解决方案: 

    圆的标准方程。 

    (x-h)2  +(y-k)2   = r 2

    塞(h,k)=(-4,0)和r = 7。

    [x-(-4)2 ] +(y-0)2   = 7 2

    简化。 

    (x + 4)2 + y 2   = 49

    范例2: 

    写出一般方程为的圆的标准方程

    X 2  + Y  - 4X + 6Y - 12 = 0

    解决方案: 

    为了找到圆的标准方程,我们需要知道中心和半径。 

    让我们从给定的圆的一般方程式中找到中心和半径。 

    比较中 

    x 2  + y 2  + 2gx + 2fy + c = 0

    X 2  + Y 2 - 4X + 6Y - 12 = 0,

    我们有 

    2g =-4 -----> g = -2

    2f = 6  -----> f = 3

    c = -12

    中心=(-g,-f)=(2,-3)

    半径=√[g 2  + f 2  -c]

    半径=√[(-2)2  + 3 2  -(-12)]

    半径=   √[4  + 9  + 12]

    半径=√25

    半径= 5

    圆的标准方程: 

    (x-h)2  +(y-k)2   = r 2

    塞(h,k)=(2,-3)且r = 5。

    (x-2)2  + [y-(-3)2 ] = 5 2

    简化。 

    (x-2)2  +(y + 3)2   = 25

    例子3: 

    点(1,2)在以(5,-1)为中心的圆上。写出圆的标准方程。

    解决方案: 

    为了找到圆的标准方程,我们需要知道中心和半径。 中心已经给出,我们需要找到半径。

    使用距离公式,我们有

    半径=   √[(5 - 1)2 +( - 1 - 2)2 ]

    半径=√[4 2  +(-3)2 ]

    半径=√[16 + 9]

    半径=√25

    半径= 5

    圆的标准方程: 

    (x-h)2  +(y-k)2   = r 2

    塞(h,k)=(5,-1)且r = 5。

    (x-5)2  + [y-(-1)2 ] = 5 2

    简化。 

    (x-5)2  +(y + 1)2   =   5 2

    画圆

    如果知道圆的方程,则可以通过标识圆的中心和半径来绘制圆的图形。 

    范例: 

    圆的方程是 

    (x + 2)2  +(y-3)2   = 9

    画出圆圈。 

    解决方案:

    要绘制圆图,我们需要知道圆的半径和中心。

    重写方程式以找到中心和半径。 

    (x + 2)2  +(y-3)2   = 9

    [x-(-2)2 ] +(y-3)2   = 3 2

    因此,中心为(-2,3),半径为3。 

    要绘制圆图,请将指南针的点放在(-2,3),将半径设置为3个单位,然后旋转指南针以绘制一个完整的圆。

    20201009134901.png

    应用圆图

    范例:

    在舞台上布置了一排灯。每盏灯照亮舞台上的圆形区域。使用坐标平面以舞台的角点为原点来布置灯光。方程  (x-13)2  +(y-4)2   = 16表示光碟之一。 

    (i)绘制光碟图。 

    (ii)三个演员的位置如下: 

    亨利(11,4)

    乔琳(8,5)

    马丁(15,5)

    光碟里有哪些演员? 

    解决方案: 

    解决方案(2): 

    要绘制光碟图,我们需要知道圆的中心和半径。

    重写方程式以找到中心和半径。 

    (x-13)2  +(y-4)2   = 16

    (x-13)2  +(y-4)2   = 4 2

    因此,中心为(13,4),半径为4。 

    圆心为(13,4),半径为4的圆,如下所示(光碟图)。

    20201009134945.png

    解决方案(2): 

    上图显示亨利和马丁都在光碟中。

    更新:20210423 104205     


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