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    极坐标与笛卡尔坐标_笛卡尔坐标系_极坐标系_极坐标转换为笛卡尔坐标

    发布时间:2020-10-29 20:21:05 作者:冬青好 

       有两个主要系统用来在地图或图表中准确定位:

       笛卡尔坐标系

       在笛卡尔坐标系中,一点是用向右向上的距离来定位的:

    20201029195944.png

       极坐标系

        在极坐标系中,一点是用离中点的距离角度来定位的:

    20201029200113.png

        转换

        从一个系统转换到另一系统,我们用这个三角形:

    20201029200247.png

       笛卡尔坐标转换为极坐标

       当我们知道一点的笛卡尔坐标(x,y)想转换成极坐标(r,θ),我们需要解一个有两条已知边的直角三角形

       例子: (12,5) 的极坐标是什么?

    20201029200355.png

       用勾股定理去计算长的一边(斜边):

    r2 = 122 + 52
    r = √ (122 + 52)
    r = √ (144 + 25)
    r = √ (169) = 13

       用正切函数去计算角度:

    tan( θ ) = 5 / 12
    θ = tan-1 ( 5 / 12 ) = 22.6° (精确到一位小数)

       答案:(12,5) 的极坐标是 (13, 22.6°)
       

      什么是 tan-1

      反正切函数:     20201029200823.png
     

    • 正切 已知一个角度为变量数得到一个比例,
    • 反正切 已知一个比例 (像 "5/12")得到一个角度。

       所以,笛卡尔坐标 (x,y) 转换为极坐标 (r,θ):

      • r = √ ( x2 + y2 )
      • θ = tan-1 ( y / x )

       注意:当 x 或 y 是负数时,计算器可能得到错误的 tan-1 () 的值……继续看下去。

       极坐标转换为笛卡尔坐标

       当我们知道一点的极坐标(r, θ),想转换为笛卡尔坐标(x,y),我们需要解一个有已知斜边和角度的直角三角形

       例子:(13, 22.6°)的笛卡尔坐标是什么?

    20201029201023.png

       用 x 的 余弦函数:         cos( 22.6 °) = x / 13
       重排及解:         x = 13 × cos( 22.6 °)
              x = 13 × 0.923
              x = 12.002...
               
       用 y 的 正弦函数:         sin( 22.6 °) = y / 13
       重排及解:         y = 13 × sin( 22.6 °)
              y = 13 × 0.391
              y = 4.996……

       答案: (13, 22.6°) 的笛卡尔坐标是差不多 (12, 5)

       所以,极坐标 (r,θ) 转换为笛卡尔坐标(x,y):

      • x = r × cos( θ )
      • y = r × sin( θ )

        但如果 X 和 Y 是负数呢?

        四象限

       要考虑负数时,注意到x轴和y轴把平面空间分为4 个部分:象限 I、II、IIIIV(逆时钟方向排列)

    20201029201344.png

       当由极坐标转换为笛卡尔坐标时这很合适:

    例子:(12, 195°) 的笛卡尔坐标是什么?

       r = 12 和 θ = 195°

    • x = 12 × cos(195°)
      x = 12 × -0.9659...
      x = −11.59 to 2 decimal places
    • y = 12 × sin(195°)
      y = 12 × -0.2588...
      y = −3.11 精确到两位小数

        坐标是 (−11.59, −3.11),是在象限 III

       可是,当笛卡尔坐标转换为极坐标时。。。。。。。。。。。。计算器可能会为 tan-1

        得到错误的值

    象限 tan-1的值
    I 用计算器的值
    II 用计算器的值加上 180°
    III 用计算器的值加上 180°
    IV 用计算器上的值 加上 360°

     

    例子:P = (−3, 10)

      P 是在象限 II

    • r = √((−3)2 + 102)
      r = √109 = 10.4 精确到一位小数                               20201029201544.png
    • θ = tan-1(10/−3)
      θ = tan-1(−3.33...)

      tan-1(−3.33...) 的值是 −73.3°

    象限 II 的规则是:计算器的值 加上 180°
    θ 计算机得到的值= −73.3° + 180° = 106.7°

       所以 (−3, 10) 的极坐标是 (10.4, 106.7°)

     例子:Q = (5, −8)

      Q 是在 象限 IV                     

    • r = √(52 + (−8)2)
      r = √89 = 9.4 精确到一位小数                     20201029201718.png
    • θ = tan-1(−8/5)
      θ = tan-1(−1.6)

       计算机得到 tan-1(−1.6) 的值是 −58.0°

    象限 IV 的规则是: 计算器的值 加上 360°
    θ = −58.0° + 360° = 302.0°

       所以 (5, −8) 的极坐标是 (9.4, 302.0°)

       总结

     

       极坐标 (r,θ)转换 为 笛卡尔坐标 (x,y):

    • x = r × cos( θ )
    • y = r × sin( θ )

       笛卡尔坐标 (x,y)转换 为 极坐标 (r,θ):

    • r = √ ( x2 + y)
    • θ = tan-1 ( y / x )

       tan-1( y/x ) 可能需要调整:

    • 象限 I: 用 计算器的值
    • 象限 II: 加 180°
    • 象限 III: 加 180°
    • 象限 IV: 加 360°
    更新:20210423 104212     

      无相关信息

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