正多边形定义和正多边形的面积公式

  多边形

  多边形是边是直线的平面（二维）图形，例如三角形、四边形、五边形、六边形等等。

  规则

  规则正多边形，所有边长度相等，所有角大小相等。

规则（正）五边形		不规则五边形

  否则便是个 不规则多边形，在这里我们只谈正多边形。

属性

我们可以谈什么属性？首先，可以谈谈多边形的角。

  外角

  外角是多边形任何一条边，与邻边的延长线之间的角，多边形所有的外角加起来是 360°，所以：每个外角等于 360°/n（n 是边的个数）

  按 play 钮来看看。

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例子：正八边形的外角有多大？八边形有八条边，所以：外角 = 360°/n = 360°/8 = 45°

（正八边形的）外角

  内角

内角与外角都是在同一条线上，所以它们的和是 180°。内角 = 180° − 外角，

外角 = 360°/n，所以：内角 = 180° − 360°/n

  这可以重排成：

所以：

内角 = (n−2) × 180° / n

例子：正八边形的内角有多大？正八边形有八条边，所以：

外角 = 360° / 8 = 45°

内角 = 180° − 45° = 135°

（正八边形的）内角

 我们也可以用：内角 = (n−2) × 180° / n  = (8−2) × 180° / 8 = 6 × 180° / 8 = 135°

例子：正六边形的内角和外角有多大？正六边形有六条边，所以：

  外角 = 360° / 6 = 60°，内角 = 180° − 60° = 120°

  外接圆、内接圆、半径和边心距……"

  这是多边形 "外面" 和 "里面" 的圆和半径，像这样：

外面的圆叫外接圆，它连接多边形所有的顶点（角）。外接圆的半径也是多边形的半径。

"里面" 的圆叫内接圆，它刚好接触多边形每一条边的中点。内接圆的半径是多边形的边心距。

（不是所有的多边形都有这些属性的，但三角形和正多边形有）。

  拆成三角形

  我们可以把多边形拆成三角形来更具体地分析多边形的属性：

注意：

• 三角形的 "底" 是多边形的边。
• 三角形的 "高" 是多边形的 "边心距"

  三角形的面积是底乘高的一半：一个三角形的面积 = 底 × 高 / 2 = 边长 × 边心距 / 2

  整个多边形的面积是所有三角形面积的和（总共有 "n" 个）：多边形面积 = n × 边长 × 边心距 / 2

  周长是 = n × 边长，所以：多边形面积 = 周长 × 边心距 / 2

  小三角形

  再把三角形一分为二：

（注意：角的单位是弧度，而不是角度）

  小三角形是直角三角形，我们可以用 正弦、余弦和正切函数来分析边长、半径、边心距和 "n" 的关系：

sin(π/n) = (边长/2) / 半径		边长 = 2 × 半径 × sin(π/n)
cos(π/n) = 边心距 / 半径		边心距 = 半径 × cos(π/n)
tan(π/n) = (边长/2) / 边心距		边长 = 2 × 边心距 × tan(π/n)

  还有很多类似的关系（大部分都是可以互相"转换的"），但在这里我们就谈这么多。

更多面积公式

如果我们只知道边心距，我们可以这样求面积：小三角形的面积 = ½ × 边心距 × (边长/2)

从上面的 "tan" 公式，我们知道：边长 = 2 × 边心距 × tan(π/n)

因此：

  小三角形面积：= ½ × 边心距 × (边心距 × tan(π/n)) = ½ × 边心距2 × tan(π/n)

  每边有两个这样的三角形，总共有 2n 个：

  多边形面积 = n × 边心距2 × tan(π/n)

  如果我们不知道边心距，我们可以用同一个公式，但以半径或者边长为变量：

  多边形面积 = ½ × n × 半径2 × sin(2 × π/n)

  多边形面积 = ¼ × n × 边长2 / tan(π/n)

数值列表

这是不同多边形的边长、边心距和面积的值（半径为 "1"）：

（注意：数值精确到三位小数）

图

这是上面列表的图，边个数从 3 到 30。留意当 "n" 越来越大，边心距趋近 1（等于半径），面积趋近 π = 3.14159……和圆形一样，边长趋近什么？