力是推或拉,通常在物体上的力是平衡的(不平衡的力会导致物体加速):
例子:这个桥塔顶部的力是平衡的(它不在加速):
悬索向下拉,左右力度相等,与桥塔向上的推力平衡。(桥塔在推吗?当然!如果悬索不是在塔顶,而是在你头顶,你需不需要向上推?)我们可以做一个数学模型来模拟这些力:
把代表力的箭头头尾连接起来,箭头刚好环绕一圈,所以所有的力加起来是零(互相抵消):
力度平衡。
平衡的力被形容为处于均衡状态:运动也没有改变。
自由体图
首先画个自由体图(也称示力图))
在悬索桥的例子里,桥顶部的自由体图是:
悬索桥自由体图 自由体图
自由体图帮助我们清楚地分析物体承受的力。
例子:高速公路上的汽车,在公路上飞驰的汽车受着什么力?
发动机不停发力,但为什么汽车不无限地加速?
因为驱动汽车前进的力与以下的力成平衡:
空气阻力(即是:空气抗拒被汽车推动),
滚动阻力,也叫滚动摩擦(轮胎抗拒变形)
像这样:
W 是汽车的重量,
R1 和 R2 是轮胎的滚动阻力,
N1 和 N2 是反作用力(抵消汽车的重量)。
注意:钢轮(像列车的车轮)的滚动阻力比较小,但在公路上就太滑了!
计算
力是矢量。矢量有量值(大小)和放下能:
我们可以用有正确长度与方向的箭头来作为力的模型:
例子:欲穷千里目,更上一层楼
大山站在峡谷观景台上,观景台由一根横梁和一根支柱支撑:
力:人在梁和60度支柱上,大山的体重是 80千克。
描述所有的力,我们来看大山站立的地方所承受的力:
大山的体重
地心引力把大山身体的 80千克质量向下拉。
力是质量乘以加速度:F = ma
地球表面的引力加速度是:
9.81米/秒2,所以 a = 9.81米/秒2
F = 80千克 × 9.81米/秒2
F = 785牛顿
其他的力
所有的力在平衡状态,所以箭头应该刚好环绕一圈:
我们可以用三角法来求力的数值。 三角形是个直角三角形,我们可以用三角函数来解。
求梁:已知邻边,未知对边,所以我们用正切:
tan(60°) = 梁/785牛顿
梁/785牛顿 = tan(60°)
梁 = tan(60°) × 785牛顿
梁 = 1.732…… × 785牛顿 = 1360牛顿
求支柱:已知邻边,未知斜边,所以我们用余弦:
cos(60°) = 785牛顿 / 支柱
支柱 × cos(60°) = 785牛顿
支柱 = 785牛顿 / cos(60°)
支柱 = 785牛顿 / 0.5 = 1570牛顿
就:
力 梁 1360 支柱 1570
相对于大山的体重,梁和支柱承受的力相当大!
扭力(力矩)
如果只有梁而没有支柱(叫悬臂)呢?
在没有支柱的情况下,有什么力呢?自由体图像这样:
向上的力 R 抵消了向下的 重力。
如果只有这两个力,梁便会转个不停!但是,还有一个 "旋转效应" M,成为力矩(或叫扭力)把它抵消了:
力矩:力乘以垂直距离。
我们知道重力是 785牛顿,我们也需要知道垂直距离,在这个例子里是 3.2米。
M = 785牛顿 × 3.2米 = 2512牛顿米
力矩阻止了梁的旋转。
拿着钓鱼竿时你可以感觉到力矩。除了举着钓鱼竿的重量,你也要阻止它向下旋转。
摩擦力
斜面上的箱子
箱子重 100千克。摩擦力够使箱子静止不动。反作用力 R 垂直于斜面。
箱子不在加速,所以所有的力互相平衡:
100千克质量向下的地心引力是:
用三角函数来解。
摩擦 f:
绘画自由体图提示
尽量简化。通常一个方框就可以了。
代表力的箭头指着力施于物体的方向
用直的箭头来代表力
用弯的箭头来代表力矩
皮皮和森森拉箱子
把大小和方向转换成 x 和 y:
极矢量 <=> 笛卡尔矢量
极坐标里的 笛卡尔坐标里的
矢量 a 矢量 a
你可以去这网页学习转换极坐标和笛卡尔坐标。以下是个简单总结:
将极坐标 (r,θ) 转换为笛卡尔坐标 (x,y) |
将笛卡尔坐标 (x,y) 转换为极坐标 (r,θ) |
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现在我们来活学活用!
矢量例子:二人拉箱子
例子:拉箱子
皮皮和森森在拉一个箱子(从上看):皮皮向 60°的方向以 200牛顿的力拉,森森向 45°的方向以 120牛顿的力拉,
合起来的力是多少,向哪个方向?把两个矢量头尾连接:
先转换成笛卡尔坐标(保留两个小数):
皮皮的矢量:
x = r × cos( θ ) = 200 × cos(60°) = 200 × 0.5 = 100
y = r × sin( θ ) = 200 × sin(60°) = 200 × 0.8660 = 173.21
森森的矢量:
x = r × cos( θ ) = 120 × cos(-45°) = 120 × 0.7071 = 84.85
y = r × sin( θ ) = 120 × sin(-45°) = 120 × -0.7071 = −84.85
这就是:
加起来:
(100, 173.21) + (84.85, −84.85) = (184.85, 88.36)
答案是正确的,不过我们把它转换到极坐标,因为问题是用极坐标的:
结果(舍入后)是:
最后结果是这样:
"并肩作战"会好些!