1.1 复数的算术运算

z1 = x1+ y1i,
z2 = x2+ y2i.
假设一般的算术规则适用于复数我们可以找到︰

增加
z1 + z2 = (x1+y1i) + (x2+y2i) = (x1+x2) + i(y1+y2)

减法
z1 - z2 = (x1+y1i) - (x2+y2i) = (x1-x2) + i(y1-y2)

乘法
z1z2 = (x1+y1i)(x2+y2i) = x1x2 + y1x2i + x1y2i +y1y2i²
z1z2 = (x1x2 - y1y2) + (y1x2 + x1y2)i

例子:
z1 = 0 + 1i = i;
z2= 0 + 1i = i.
z1z2 = i² = (0+1i)(0+1i) = (0 -1) + (0+0)i = -1

除法
z1/z2 = (x1+y1i)/(x2+y2i)是一个复杂的数字， 假如 z2 = x2+ y2i 0.

x2²+ y2² 0.

得到方程 (1.12),  我们迫使复杂分母用分子和分母相乘的数是真实的  x2 -y2i.
=

=

在乘法中 (x1+y1i)(x2 -y2i)我们得到公式 (1.12).

例 13:
有两个数:
z1 = 5 - 3i,
z2 = 1 + 4i.
加法:
z1 + z2 = (5 - 3i) + (1 + 4i) = (5 + 1) + (-3 + 4)i = 6 + i
减法:
z1 - z2 = (5 - 3i) - (1 + 4i) = (5 - 1) + (-3 - 4)i = 4 - 7i
乘法:
z1z2 = (5 - 3i)(1 + 4i) = 5 - 3i + 20i - 12i² = 17 + 17i
除法:
z1/z2 = (5 - 3i)/(1 + 4i) = {(-12 +5) + i(-3 - 20)}/(16 + 1) = - 7/17 - i(23/17)

例 14:
z1 = 1+ i,
z2 = 1- i.
z1/z2 = (1 + i)/(1- i) = (1 + i)²/{(1- i)(1+ i)} = (1 + 2i + i²)/(1 - i²) = 2i/2 = i.
5.2 复数的性质

1. 加法交换定律
z1 + z2 = z2 + z1 证明

2. 乘法交换定律
z1z2 = z2z1 证明

3. 加法关联定律
z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3

4. 乘法关联定律
z1(z2z3) = (z1z2)z3

5. 乘法是相对于加法的分配的：
z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3

6.两个复数的乘积是零的，如果且仅当至少一个因数为零.

7. 加法逆元
任何复杂的数 z有一个独特的负–z这样，z + (–z) = 0. If z = x + yi,这负 –z = – x – yi.

8. 乘法逆元

任何非零复数 z = x + yi 有一个独特的逆 1/z这样z(1/z) = 1.

这个数 1/z 被称为复数的倒数 z.
1/z = .

9. 加法的特性

一个复杂的数字 w这样 z + w = z 对于所有复杂的数字z. 这个数w是有序的对(0, 0).

10.乘法的特性

 有一个复杂的数字 这样z = z对于所有复杂的数字 z. 有序对 (1, 0) = 1 + 0i这个属性是唯一的复数。

1.2.1复数的性质的证明

这些属性没有一个是难以证明的.大多数证明在实数系统中使用了相应的事实 :
实数是可交换的加法
x + y = y + x.
 实数在乘法下是可交换的
x·y = y·x.

1. 法交换定律证明
让我们证明 z1 + z2 = z2 + z1.
z1 = x1 + iy1; z2 = x2 + iy2.

通过对复数的定义 (1.10) z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2).

x1, x2, y1, y2都是真实的，它什么顺序实数加起并不重要。通过实数加法的交换定律

(x1 + x2) = (x2 + x1) and (y1 + y2) = (y2 + y1).

z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2) =
(x2 + x1) + i(y2 + y1) = z2 + z1

2. 乘法交换定律的证明
让我们证明 z1z2 = z2z1.
z1 = x1 + iy1; z2 = x2 + iy2.

通过复数乘法的定义 (1.11) z1z2 = (x1x2 - y1y2) + (y1x2 + x1y2)i
和 z2z1 = (x2x1 - y2y1) + (y2x1 + x2y1)i.

x1, x2, y1, y2都是真实的。通过实数乘法的交换定律
x1x2 = x2x1 and y1y2 = y2y1.
这意味着，x1x2 - y1y2 = x2x1 - y2y1
和 y1x2 + x1y2 = y2x1 + x2y1.
这样的方式 z1z2 = z2z1.