微分学及练习题

微分学

定义

ƒ'(x) =	.
和	如果这个限制存在
ƒ'(c) =	.

如果 ƒ 是微在 x = c，那么 ƒ 是连续 x = c。

微分法则

一般和对数微分法则

1. [cu] = cu'		2. [u v] = u' v'	(求和定则)
3. [uv] = uv' + vu'	积的求导法	4. [] =	商的求导法则
5. [c] = 0		6. [un] = nun-1u'	(幂规则)
7. [x] = 1		8. [ln u] =
9. [eu] = euu'		10.[ƒ(g(x))] = ƒ' (g(x)) g' (x)	链式求导法

三角函数的导数

微分学

反三角函数的导数

隐函数的微分

隐函数的微分是有用的情况下，在其中你不能很容易地解决Y作为x的函数

练习题1	Find for y3 + xy - 2y - x2 = -2

	[y3 + xy - 2y - x2] = [-2]
	3y2 + (x+ y) - 2 - 2x = 0
	(3y2 + x - 2) = 2x - y
	=

高阶导数

这些 ƒ(x) 都是连续导数。使用基本符号，第二阶导数ƒ(x),ƒ''(x),是导数的ƒ'(x).高阶导数的数值表示法：

ƒ(n)(x) = y(n)

二阶导数也由表示

练习2	查找第三阶导数 y = x5.
	y' = 5x4
	y'' = 20x3
	y''' = 60x2

反函数的导数

如果 y = ƒ(x) 和 x = ƒ-1(y) 是可微分的反函数，那么及其导数是倒数:

对数微分
它通常是有利使用对数来区分某些功能。
1.采取双侧
2.区分
3.解决 y'
4.代替 y
5.简化

练习3	找到对于 y =
	ln y = [ln(x2 + 1) - ln(x2 - 1)]
	=
	y' =
	y' =

中值定理

如果 ƒ 是连续 [a，b] 和可导 (a，b)，则存在大量 c (a，b) 这样的

ƒ'(c) =

L'Hôpital's 法则
如果ƒ(x)/g(x) 是不确定的形式 0/0 或，如果lim ƒ'(x)/g'(x)存在，然后

lim = lim

不确定的形式0 可以减少到0/0 or 以便L'Hôpital's法则可以应用。
注: L'Hôpital's法则可应用于四种不同的不确定形式 : 见下:

, , , 和四种

练习4	是什么 ?
	(A) 2
	(B) 1
	(C) 0
	(D)
	(E) 不存在限制
答案是B.	= 1

切线和法线

一个函数的导数在一个点上的导数是切线的斜率。正常的线是垂直的线，切入点是垂直的切线。

练习5	正常曲线斜率的曲线y = 2x2 + 1 在 (1, 3)
	(A) -1/12
	(B) -1/4
	(C) 1/12
	(D) 1/4
	(E) 4
答案是 B.	y' = 4x
	y = 4(1) = 4
	边坡正常 =-1/4

极值定理

如果一个函数 ƒ(x) 是在一个封闭的间隔上是连续的，然后 ƒ(x) 在间隔中有最大值和最小值。

曲线的绘制

现状	指示
ƒ'(c) > 0	ƒ 增加在 c
ƒ'(c) < 0	ƒ 降低在c
ƒ'(c) = 0	在横切线 c
ƒ'(c) = 0, ƒ'(c-) < 0, ƒ'(c+) > 0	相对最小在 c
ƒ'(c) = 0, ƒ'(c-) > 0, ƒ'(c+) < 0	相对最大在c
ƒ'(c) = 0, ƒ''(c) > 0	相对最小在 c
ƒ'(c) = 0, ƒ''(c) < 0	相对最大在 c
ƒ'(c) = 0, ƒ''(c) = 0	f需要更进一步的调查
ƒ''(c) > 0	向上凹
ƒ''(c) < 0	向下凹
ƒ''(c) = 0	需要更进一步的调查
ƒ''(c) = 0, ƒ''(c-) < 0, ƒ''(c+) > 0	点的拐点
ƒ''(c) = 0, ƒ''(c-) > 0, ƒ''(c+) < 0	点的拐点
ƒ(c) 存在, ƒ'(c) 不存在	可能是一个垂直的切线；可能是一个绝对的最大或最小。

牛顿函数逼近零点的方法

xn + 1 = xn -

使用牛顿的方法，让x1是一根的猜想。重复功能，直到所需的精度得到的结果

优化问题

微积分可以用来解决实际问题，需要最大或最小值。

练习6	一个没有顶部方形框有 500立方体积尺。查找需要最少的框尺寸
	V = 体积，S = 表面积，x = 低部长度和 h = 框的高度
	V = x2h = 500
	S = x2 + 4xh = x2 + 4x(500/x2) = x2 + (2000/x)
	S' = 2x - (2000/x2) = 0
	2x3 = 2000
	x = 10, h = 5
	尺寸︰ 10 x 10 x 5 尺

变化率的问题
距离、速度和加速度

y = s(t)质点沿直线的位置在时间 t

v = s'(t) 瞬时速度 (变化率) 在时间 t

a = v'(t) = s''(t) 瞬时加速度在时间t

练习7	一个高5英尺男孩走向一个3英尺/秒速度，距地面12英尺的路灯
	a) 提示他的阴影变化率是什么？
	b) 他的影子的长度的变化率是多少？




	b) = ft/sec	a) = ft/sec

练习8	一个直径20英尺，高30英尺的锥形罐（顶点向下）以每小时5立方英尺的速度渗漏水。水是什么速度?水位下降时，水是15英尺深吗？
	V = r2h	h2
		5 = h2

	V = h3	ft/hr