有理数的十进制表示

让我们考虑有理数p / q，其中p和q都是整数，  q  ≠0。 

我们可以通过长除法获得有理数p / q的十进制表示  。

当我们使用长除法将p除以q时，余数变为零， 或者余数永不为零，并且得到重复的余数字符串。

情况1（余数= 0）： 

让我们以十进制形式表示7/16。那么7/16 = 0.4375。

在此示例中，我蜜察到在经过几步后，余数变为零。

十进制扩展7/16也会 终止。

同样，使用长除法，我们可以将以下  有理数以十进制形式表示为

1/2 = 0.5

7/5 = 1.5

-8/25 = -0.32

在上述示例中，十进制扩展在有限步数之后终止或终止  。

情况2（余数  ≠0）：

是否每个有理数都有一个终止的十进制扩展？

在回答问题之前，让我们以十进制形式表示5/11和7/6。 

因此，有理数的十进制扩展不必终止。

在上述示例中，我蜜察到余数永远不会为零。我们还注意到，其余的步骤会重复进行。因此，商中有一个重复的（重复的）数字块。

为了简化表示法，我们在重复（重复）部分的第一个块上放置一个小节，并省略其余块。

因此，我们可以将5/11和7/6的扩展写成如下。

下表显示了前十个自然数的倒数的十进制表示形式。我们知道数字n的倒数是1 / n。显然，自然数的倒数是有理数。

因此，我们看到，

有理数可以通过终止或不终止和重复（重复）十进制扩展表示。

这句话的反面也是正确的。 

也就是说， 如果数字的十进制扩展是终止或不终止且重复出现（重复），则该数字是有理数。