由导师撰写
上图是X – Y坐标轴上单位圆的图形。
从图中可以看出,单位圆定义为半径(r)=1。
从象限I到象限IV,逆时针旋转,单位圆轴上的坐标点为:
(1、0),(0、1),(-1、0)和(0,-1)
当我们在单位圆周围定义X和Y坐标时,记住这一点很重要。单位圆具有360°。在上图中,单位圆分为4个象限,将单位圆分成4个相等的部分。每一块正好是90°。
问题:为什么每个部分/象限等于90°?
同样可以看出,单位圆是由四个90°角组成的,它们总共为360°:
现在,我们将单位圆分为30°,45°和60°的角度。这些是特殊的角度,记住非常重要。
让我们从象限I开始,因为这是基础,并且X和Y坐标均为正。见下文。
然后,我们进入象限II,该象限开始于90°,然后转到180°。从下图中,象限II中的每个角度在该象限内分别为30°,45°和60°。但是,由于这些角度在象限I中的参考点位于0°标记处,因此将根据它们从象限I到象限II所成的角度对其进行标记。例如,象限II中的45°标记为135°,因为它是从象限I中的0°到象限II中的45°角度。另外,从图中可以看出,象限II中的45°角在单位圆上介于90°和180°之间。在每个象限中以30°,45°和60°角完成此操作。见下文。
下图显示了从0°到360°的所有4个象限中单位圆的度数。
现在,我们将弧度添加到单位圆。弧度是角度测量的标准单位。
计算弧度的公式为:
我们将在上面标记的单位圆上计算每个度数的弧度。
学位 | 式 | 弧度(简体) |
0度 | (0°)*(π / 180°) | 0 |
30° | (30°)*(π / 180°)= 30π / 180°弧度 | π / 6 |
45° | (45°)*(π / 180°)= 45π / 180°弧度 | π / 4 |
60度 | (60°)*(π / 180°)= 60π / 180°弧度 | π / 3 |
90° | (90°)*(π / 180°)= 90π / 180°弧度 | π / 2 |
120度 | (120°)*(π / 180°)= 120π / 180°弧度 | 2π / 3 |
135° | (135°)*(π / 180°)= 135π / 180°弧度 | 3π / 4 |
150° | (150°)*(π / 180°)= 150π / 180°弧度 | 5π / 6 |
180° | (180°)*(π / 180°)= 180π / 180°弧度 | π / 1 |
210° | (210°)*(π / 180°)= 210π / 180°弧度 | 7π / 6 |
225° | (225°)*(π / 180°)= 225π / 180°弧度 | 5π / 4 |
240度 | (240°)*(π / 180°)= 240π / 180°弧度 | 4π / 3 |
270° | (270°)*(π / 180°)= 270π / 180°弧度 | 3π / 2 |
300° | (300°)*(π / 180°)= 300π / 180°弧度 | 5π / 3 |
315° | (315°)*(π / 180°)= 315π / 180°弧度 | 7π / 4 |
330° | (330°)*(π / 180°)= 330π / 180°弧度 | 11π / 6 |
360度 | (360°)*(π / 180°)= 360π / 180°弧度 | 2π / 1 |
下图显示了所有4个象限中的弧度测量值及其相应的角度。本文介绍了一种简单的方法来记忆单位圆上的点。
接下来,我们将在单位圆上定义X和Y坐标点。为此,我们需要了解特殊直角三角形30 – 60 – 90和45 – 45 – 90度与坐标平面的关系。记住这些直角三角形非常重要,因为它们具有某些特性,在求解三角函数时会派上用场。
下图显示了象限I中30-60-90和45-45-90度的直角三角形。
这些三角形也可以在其他3个象限中表示,只是X和Y可能会根据象限改变符号。例如,下图显示了所有4个象限中的45-45-90度直角三角形。请注意,无论三角形位于哪个象限中,三角形的角度仍为45°,但是X和Y坐标会更改符号。例如,请注意,象限III,X和Y均为负。还要注意,r =圆的半径=三角形的斜边。该信息用于求解单位圆上的X和Y坐标。
当求解90°三角形中的X,Y或r时,我们可以使用勾股定理。
X 2 + Y 2 = r 2(勾股定理)
在右边,勾股定理用于求解45°角的半径。
因此,对于45°角,我们有X = 1,Y = 1,并且r =√2
而且,就半径和角度而言,X和Y可以写成:
X = r *cosθ和Y = r *sinθ
如果给出r和Θ,则可以找到X坐标。
接下来,我们将定义三角函数:
cosθ° = X / r =相邻/斜边 | sinθ° = Y / r =相反/斜边 | tanθ° = Y / X =对面/相邻 |
secθ° = r / X =斜边/相邻 | cscΘ° = r / Y =斜边/相反 | cotθ° = X / Y =相邻/对面 |
让我们求解45-45-90度三角形的三角函数,并定义X – Y坐标:
cosθ = X / r正弦角= Y / rtanθ° = Y / Xcos45° = 1 / √2 = √2 / 2sin45° = 1 / √2 = √2 / 2tan45° = Ŷ / X = 1 / 1 = 1
求解cos45°和sin45°之后,让我们定义单位圆的X和Y坐标点。
由于X = r *cosθ,Y = r *sinΘ和r = 1
对于Θ= 45°,我们有X = 1 * cos45°= √2 / 2和Y = 1 * sin45°= √2 / 2
以下是45°角的X和Y坐标图:
让我们求解30-60-90度三角形的三角函数,并定义X – Y坐标:
cosθ = X / r正弦角= Y / rtanθ° = Y / Xcos30° = √3 / 2sin30° = 1 / 2tan30° = 1 / √3 = √3 / 3cos60° = 1 / 2sin60° = √3 / 2tan60° = √3 / 1
以下是30°和60°角的X和Y坐标图:
下表显示了与单位圆上度数相关的X,Y坐标点。
度=Θ | (X,Y)座标 | 度=Θ | (X,Y)座标 |
0度 | (1,0) | 210° | (-√3 / 2,-1 / 2) |
30° | (√3 / 2,1 / 2) | 225° | (-√2 / 2,-√2 / 2) |
45° | (√2 / 2,√2 / 2) | 240度 | (-1 / 2,-√3 / 2) |
60度 | (1 / 2,√3 / 2) | 270° | (0,-1) |
90° | (0,1) | 300° | (1 / 2,-√3 / 2) |
120度 | (-1 / 2,√3 / 2) | 315° | (-√2 / 2,-√2 / 2) |
135° | (-√2 / 2,√2 / 2) | 330° | (√3 / 2,-1 / 2) |
150° | ( - √3 / 2,1 / 2) | 360度 | (1,0) |
180° | (-1,0) |
要记住的关键公式:
X = r *cosΘY
= r *sinΘ
在单位圆上,半径(r)= 1
勾股定理:X 2 + Y 2 = r 2
更新:20210423 104210