欧几里得几何(公理和假设)

欧几里得几何是基于不同公理和定理的几何形状和图形的研究。它基本上是为平面引入的。对于几何图形和平面的形状，可以更好地进行解释。这部分几何图形由希腊数学家欧几里得（Euclid）使用，后者也在他的《元素》一书中对此做了描述。因此，此几何也称为Euclid几何。 

公理或假设是显而易见的普遍真理的假设，它们没有得到证明。欧几里得（Euclid）在其书本元素中介绍了几何学基本原理，例如几何形状和图形，并陈述了5条主要公理或假设。 在这里，我们将讨论欧几里得几何的定义，其元素，公理和五个重要假设。

欧几里得几何的历史

哈拉帕（Harappa）和莫亨霍·达罗（Mohenjo-Daro）的发掘描绘了精心规划的印度河谷文明城镇（约公元前3300-1300年）。埃及人完美无缺地构造金字塔，这是当时人勉泛使用几何技术的又一个例子。在印度，《苏尔巴经》（Sulba Sutras）中有关几何学的教科书描述了印度吠陀时期具有几何学的传统。

几何学的发展是逐渐发生的，当时埃及亚历山大市的数学老师欧几里得（Euclid）收集了这些几何学中的大部分演变并将其汇编成他著名的论文，他将其命名为“元素”。

什么是欧几里得几何？

欧几里得几何被认为是一个公理系统，其中所有定理都来自少量的简单公理。由于“几何”一词涉及点，线，角，正方形，三角形和其他形状，因此欧几里得几何也被称为“平面几何”。它处理所有事物之间的属性和关系。

非欧几里得不同于欧几里得几何。这两条平行线的性质有所不同。在Euclid几何中，对于给定的点和线，只有一条直线穿过同一平面中的给定点，并且永远不会相交。

欧几里得的元素

Euclid的《 Elements》是一本数学和几何著作，由13本由古希腊数学家Euclid在埃及托勒密亚历山德里亚亚历山大撰写的书组成。此外，“元素”被分为十三本书，在世界范围内普及了几何学。总体而言，这些元素是定义，假设（公理），命题（定理和构造）以及命题的数学证明的集合。

第1至第4和第6本书讨论平面几何。他给出了五个关于平面几何的假设，称为欧几里得的假设，该几何称为欧几里得几何。通过他的作品，我们有了学习几何的集体资源。它为我们现在知道的几何奠定了基础。

欧几里得公理

这是欧几里得给出的关于几何的七个公理。

1. 等同于同一事物的事物彼此相等。 
2. 如果将相等加到相等，则整体相等。 
3. 如果从等于中减去等于，则余数等于。 
4. 彼此重合的事物彼此相等。 
5. 整体大于部分。 
6. 相同事物的两倍的事物彼此相等。 
7. 两半相同的事物彼此相等

欧几里得的五个假设

在讨论欧几里得的假设时，让我们讨论一下欧几里得在他的《元素》一书中列出的几个术语。这些假设的陈述是：

• 将从实体到点的三个步骤假定为实体-曲面-线-点。在每一步中，一个维度都会丢失。
• 实体具有3个尺寸，曲面具有2个尺寸，线具有1个尺寸，点是无量纲的。
• 点是没有任何部分的任何东西，无边的长度是一条线，一条线的末端。
• 表面是仅具有长度和宽度的东西。

可以看出，一些术语的定义需要额外的说明。现在让我们详细讨论这些假设。

欧几里德的假设1

“可以从任何点到另一点画一条直线。”

这一假设规定，至少一条直线穿过两个不同的点，但是他没有提到不能多于一条这样的直线。尽管他在整个工作中都假设只有一条独特的直线穿过两点。

欧几里得的假设2

“可以无限期地进一步产生终止的线。”

用简单的话来说，欧几里得将线段定义为终止线。因此，这种假设意味着我们可以沿任一方向延伸终止线或线段以形成线。在下面给出的图中，线段AB可以如图所示延伸以形成一条线。

欧几里得的假设3

“可以绘制任何中心和任何半径的圆。”

可以从圆的终点或起点绘制任何圆，圆的直径将为线段的长度。

欧几里得的假设4

“所有直角都相等。”

所有直角（即尺寸为90°的角度）始终彼此相等，即，无论侧面的长度或方向如何，它们都是相等的。

欧几里德的假设5

“如果一条直线落在其他两条直线上，使得同一侧的内角合计小于两个直角，则这两条直线（如果无限期产生）会在相加的那一侧相交小于两个直角。”

此外，他使用这些假设和公理使用演绎推理来证明其他几何概念。毫无疑问，他和他的著作《元素》奠定了当今几何学的基础。

欧几里得几何工作表

1. 实体，点和曲面有几个尺寸？
2. 金字塔底的形状是什么？
3. 如果a + b = 10且a = c，则证明c + b = 10。
4. 两条不同的相交线可以同时平行吗？证明理由。
5. 阅读以下句子，并提及欧几里得公理中的哪一个：“ X的薪水等于Y的薪水。由于经济衰退，X和y的薪水减半。现在X的最终薪水仍将等于Y。”