直角三角形和同余三角形

等腰三角形和等边三角形不是具有特殊特征的三角形的唯一分类。直角三角形在几何学研究中也很重要，并且正如我们将看到的，我们将能够以有效的方式证明直角三角形的全等。

但是，在我们开始学习这一点之前，将直角三角形分成几部分很重要。学习涉及直角三角形各部分的术语将有助于我们避免在本节中一直感到困惑。

所有直角三角形都有两条腿，这两条腿可能相等也可能不一致。直角三角形的两腿成直角相交。三角形的另一边（不构成直角的任何部分）称为直角三角形的斜边 。直角三角形的这一侧将始终是所有三个侧中最长的。不是直角的直角三角形的角度必须是锐角。

现在，让我们学习斜边定理是什么以及如何应用它。

斜边腿定理

如果斜边和直角三角形的一条腿等于斜边和另一直角三角形的一条腿，则两个直角三角形是全等的。

回想一下，我们的全等假设标准要求三角形之间有三对全等部分。HL定理实质上只是要求两个部分之间的全等：斜边和一条腿。让我们看一个显示使用斜边定理的正确方法的图示。

在图中，我们有全等斜边（AB？DE）和全等腿（CA？FD）。

我们准备开始使用HL定理进行练习。让我们经历以下练习，以了解如何使用这个有用的定理。

练习1

为了证明下面的三角形与斜边定理一致，我们还需要什么其他信息？

回答：

请注意，两个三角形都是直角三角形，因为它们都具有一个直角。因此，如果我们能够证明三角形的斜边和每个三角形的一条边是全等的，则我们将能够应用HL定理。

查看该图，我们注意到段SQ和VT 是一致的。回想一下，不构成直角任何部分的直角三角形的边称为斜边。因此，该图表明我们有全等的斜边。

但是，没有其他有关三角形的信息。如果我们得到另一条腿是一致的，那么我们使用HL定理的标准将得到满足。下面，我们展示两种情况，其中我们可以使用HL定理证明？QRS ?? TUV。

在上图中，我们获得了与原始信息相同的所有信息，以及段QR和TU完全一致的事实。在这种情况下，我们可以应用HL定理证明一致性。

在上图中，我们注意到已经提供了所有原始信息以及RS和UV完全一致的事实。在这里，我们可以应用HL定理来证明三角形是全等的。

练习2

我们可以在下面的哪些图中使用斜边定理来证明这些三角形是全等的？

（一种）

（C）

（d）

回答：

让我们仔细看一下所有图，以确定其中哪一个图通过HL定理显示一对全等三角形。

在（a）中，似乎我们可以使用HL定理。但是，在仔细检查后，我们注意到顶点A和 D的角度不是直角。由于不使用正方形来表示角度为直角，因此无法使用HL定理。回想一下，该定理所适用的三角形的唯一类型是直角三角形，因此我们无法在这种情况下应用它。

图（b）确实显示了两个全等的三角形，但不是HL定理。我们得到，段FG与段HG是一致的，而段EG与段IG是一致的。我们也有在G处形成的直角。因为我们有两个边，并且一个三角形的夹角与另一个三角形的相应部分相同，所以我们知道这些三角形与SAS假设一致。但是，我们没有得到关于？EGF 和？IHG的斜边的任何信息。，因此我们无法应用HL定理来证明三角形是全等的。

现在，让我们看一下（c）。请注意，图中有两个直角： ？JLK和？JLM。同样，我们得到的事实是，段JK与段JM是一致的。这些线段实际上是三角形的斜边，因为它们位于直角相反的一侧。此外，图中的两个三角形共享段JL。通过传递性，我们知道该段与其自身是一致的。因此，我们可以应用HL定理证明？JKL ?? JML，因为我们知道三角形是直角三角形，所以它们的斜边是全等的，并且它们的一对腿是全等的。

最后，我们有（d）的数字。我们得到了在顶点O和Q处有直角。我们还可以暗示，因为它们是垂直角度，所以 NPO和RRPQ是一致的。但是，这将无助于我们尝试证明HL定理满足三角形的等价性。我们正在寻找的是有关三角形的腿或斜边的信息。由于我们无法从该图中推断出更多有助于我们的事实，因此无法在这种情况下应用HL定理。