尽管菱形是 平行四边形的一种,而风筝不是,但是它们的相似之处在于它们的侧面具有重要的特性。回想一下,菱形的所有四个侧面都是全等的。另一方面,风筝正好具有两对连续的全边。风筝的这种特征不允许两对相对的侧面平行。让我们看一下下面的图像,以检查使这些图有区别的属性。
上图显示了菱形ABCD和风筝EFGH的关键特征。
尽管它们有很大的不同,但在 面积方面,我们会看到菱形和平行四边形非常相似。菱形和风筝的面积等于其对角线乘积的一半。数学上,我们表示为
其中A是 四边形的面积(以正方形为单位),d 1是一个对角线的长度,d 2是另一个对角线的长度。
回想一下,每个四边形都有正好两个对角线。这是因为对角线是将顶点相互连接的线段。由于已经存在将一个顶点连接到四边形中的其他两个顶点的线段,因此绘制的唯一其他线段是从所选顶点到对角线的顶点。
让我们进行以下练习,以帮助我们将面积公式应用于菱形和风筝。
练习1
找到菱形PQRS的区域。
回答:
我们需要找出的菱形的仅有的两个部分是对角线,因为这是找到菱形区域所需的全部。给定菱形PQRS的一个对角线的长度,即我们的d 1。对角线PR的长度为12厘米。
在找到菱形PQRS的面积之前,我们需要确定d 2的长度。我们看到SQ的长度只是两个较小段的总和。因此,我们需要取段ST 和TQ的总和来找到SQ的长度。但是,我们不知道TQ的长度,因此在这一点上我们必须依靠菱形的知识来帮助我们。
我们知道菱形的对角线会一分为二。这意味着点 T是线段SQ的中点。因此,我们知道段TQ的长度等于段ST的长度。它们都长4厘米。现在,我们可以找到 SQ的长度,即d 2:
因此,我们知道d 2的长度为8厘米。现在,我们拥有解决菱形PQRS区域所需的所有要求 。让我们将d 1和d 2的值插入 :
我们看到菱形PQRS的面积为48平方厘米。
练习2
给定风筝YDOC的面积为552平方英尺,找到y的值。
回答:
在本练习中,我们将不会解决面积问题,因为已经将其给予了我们。相反,我们将不得不使用风筝的属性和面积公式来推导变量x的值。
我们得到了段CD的长度,我们将其用作 面积公式中的d 1。因此,d 1 等于24厘米。
现在,让我们看一下风筝YDOC的另一个对角线。它的长度为12x + 5y厘米。但是,我们不确定x或y的值是什么,因此我们必须从已经提供给我们的事实中推断出关键信息。现在,让我们看一下风筝的面积公式。
在练习的这一点上,我们被困住了,因为我们不知道x或y的值 。但是,如果我们看风筝的侧面,我们会注意到我们可以确定x的值。我们知道风筝有两对连续的全边。在这种情况下,我们看到CY和DY是一致的,因此我们可以将这些值设置为相等以求解x。我们有
因此,我们确定x的值为3。我们可以使用该值插入面积公式,以求解y。我们有
经过简化,我们得到
然后,将方程的两边除以12,得出
因此,我们确定y的值为2。
更新:20210423 104209