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    单位圆和勾股|正弦余弦和正切

    发布时间:2020-12-03 16:22:59 作者:冬青好 

    "单位圆" 是半径为 1 的圆,单位圆非常简单,所以用来学习长度和角很合适,圆心放在图上 x轴和 y轴的交点。

    20201203161101.png

      正弦、余弦和正切,因为半径是 1,我们可以直接测量正弦、余弦和正切的值。

    20201203161148.png

      如果角 θ是 0°呢?cos 0° = 1、sin 0° = 0、tan 0° = 0

    20201203161226.png

      如果角 θ是 90°呢?cos 90° = 0、sin 90° = 1、tan 90°是未定义,

    20201203161304.png

      自己来试试!移动鼠标来看不同的角(以弧度 或 角度为单位)对正弦、余弦和正切的影响,

    1111111111111111111

      在笛卡尔坐标里, "角边" 可以是正数或负数,因此,正弦、余弦和正切也可以是正数或负数.

      勾股

      勾股定理说明:在直角三角形里,斜边的平方等于另外两边的平方的和:

    20201203161435.png

    x2 + y2 = 12,但 12 是 1,所以:x2 + y2 = 1单位圆的方程)因为 x=cos 和 y=sin,我们得到:(cos(θ))2 + (sin(θ))2 = 1一个有用的 "恒等式"

      重要的角:30°、45° 和 60°,你应该尝试牢记这些角度的正弦、余弦和正切的值:30°、45° 和 60°,要牢记东西可能有点辛苦,但这会对你在考试或需要做快速运算的时候很有帮助,牢记这些!

    20201203161639.png

    怎样去记?

    单位圆 123

    这样想: "1、2、3" 

      sin(30°)  =   1   =   1   (because √1 = 1)
    2 2
      sin(45°)  =   2
    2
      sin(60°)  =   3
    2

     

    余弦(cos)就是 "3, 2, 1"

      cos(30°)  =   3
    2
      cos(45°)  =   2
    2
      cos(60°)  =   1   =   1   (because √1 = 1)
    2 2

    只要记住三个数

    只要记住三个数就够了: 1  ,   √2   and   √3
    2 2 2

    因为余弦正弦都是这三个数:

    单位圆 cos 1/2、根2/2、根3/2   单位圆 sin 根3/2、根2/2、1/2

      正切呢?

      正切 = 正弦/余弦,所以我们可以这样做:

    tan(30°) = sin(30°)  =  1/2  =  1
         
    cos(30°) √3/2 √3
      但写 1/√3 可能会扣分
    (见有理分母),所以应该这样写:√3/3
    tan(45°) = sin(45°)  =  √2/2  = 1 
       
    cos(45°) √2/2
       
    tan(60°) = sin(60°)  =  √3/2  = √3 
       
    cos(60°) 1/2

      画个草图
      画个草图也可以帮你记住 30° 和 60°:

    画一个边长为 2的三角形   三角形 60 60 边长 2

    把三角形一分为二。勾股定理说新的边的长度是 √3

    12 + (√3)2 = 22
    1 + 3 = 4
      三角形 30 60 边长 1、2、根3
    然后用正弦、余弦和正切的定义来记   三角形 30 60 边长 1、2、根3

     例子:sin(30°)

      正弦:

    正弦是对边除以斜边
    sin(30°) = 对边斜边 = 12

      全圆要知道全圆里的正弦和余弦的值,我们需要覆盖每一个象限,并且根据笛卡尔坐标加上正确的正负号:

    20201203162053.png

      注意我们先写余弦(cos),再写正弦(sin),所以就是(余弦,正弦)

    20201203162127.png

      例子:cos(330°) 是多少??

    单位圆 330

     

    画个草图,我们可以看到答案是 "长" 的值: √3
    2

    这是同一个单位圆,不过角的单位是弧度

    20201203162127.png

    例子:sin(7π/6) 是多少?

    单位圆 7pi/6

     

    想: "7π/6 = π + π/6",然后画草图。

    我们可以看到答案是负数,是 "短" 的值:−½

    更新:20210423 104225     


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