"单位圆" 是半径为 1 的圆,单位圆非常简单,所以用来学习长度和角很合适,圆心放在图上 x轴和 y轴的交点。
正弦、余弦和正切,因为半径是 1,我们可以直接测量正弦、余弦和正切的值。
如果角 θ是 0°呢?cos 0° = 1、sin 0° = 0、tan 0° = 0
如果角 θ是 90°呢?cos 90° = 0、sin 90° = 1、tan 90°是未定义,
自己来试试!移动鼠标来看不同的角(以弧度 或 角度为单位)对正弦、余弦和正切的影响,
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在笛卡尔坐标里, "角边" 可以是正数或负数,因此,正弦、余弦和正切也可以是正数或负数.
勾股
勾股定理说明:在直角三角形里,斜边的平方等于另外两边的平方的和:
x2 + y2 = 12,但 12 是 1,所以:x2 + y2 = 1(单位圆的方程)因为 x=cos 和 y=sin,我们得到:(cos(θ))2 + (sin(θ))2 = 1一个有用的 "恒等式"
重要的角:30°、45° 和 60°,你应该尝试牢记这些角度的正弦、余弦和正切的值:30°、45° 和 60°,要牢记东西可能有点辛苦,但这会对你在考试或需要做快速运算的时候很有帮助,牢记这些!
怎样去记?
这样想: "1、2、3" :
sin(30°) = | √1 | = | 1 | (because √1 = 1) | |
2 | 2 |
sin(45°) = | √2 | |
2 |
sin(60°) = | √3 | |
2 |
余弦(cos)就是 "3, 2, 1"
cos(30°) = | √3 | |
2 |
cos(45°) = | √2 | |
2 |
cos(60°) = | √1 | = | 1 | (because √1 = 1) | |
2 | 2 |
只要记住三个数
只要记住三个数就够了: | 1 | , | √2 | and | √3 |
2 | 2 | 2 |
因为余弦和正弦都是这三个数:
正切呢?
正切 = 正弦/余弦,所以我们可以这样做:
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但写 1/√3 可能会扣分 (见有理分母),所以应该这样写:√3/3 |
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画个草图
画个草图也可以帮你记住 30° 和 60°:
画一个边长为 2的三角形 | ||
把三角形一分为二。勾股定理说新的边的长度是 √3 12 + (√3)2 = 22
1 + 3 = 4
|
||
然后用正弦、余弦和正切的定义来记 |
例子:sin(30°)
正弦:
全圆要知道全圆里的正弦和余弦的值,我们需要覆盖每一个象限,并且根据笛卡尔坐标加上正确的正负号:
注意我们先写余弦(cos),再写正弦(sin),所以就是(余弦,正弦):
例子:cos(330°) 是多少??
画个草图,我们可以看到答案是 "长" 的值: | √3 |
2 |
这是同一个单位圆,不过角的单位是弧度。
例子:sin(7π/6) 是多少?
想: "7π/6 = π + π/6",然后画草图。
我们可以看到答案是负数,是 "短" 的值:−½
更新:20210423 104225