找到以下曲线的切线和法线的方程
（1）y = x 2 -4x-5，x = -2
（2）y = x-正弦x cos x，x =π/ 2
（3） y = 2正弦2 3x，x =π/ 6
（4） y =（1 + sin x）/ cos x，x =π/ 4时
问题1：
y = x 2 -4x-5，x = -2时
当x = -2时
|
y =（-2）2 -4（-2）-5 = 4 + 8-5 y = 7 |
dy / dx = 2x-4 dy / dx = 2（-2）-4 dy / dx = -8 |
因此，所需的点是（-2，7）
切线方程：
（yy 1）= m（xx 1）
（y-7）= -8（x + 2）
y-7 = -8（x + 2）
y-7 = -8x-16
8x + y-7 + 16 = 0
8x + y + 9 = 0
正态方程：
（yy 1）=（-1 / m）（xx 1）
（y-7）=（1/8）（x + 2）
8（y-7）= 1（x + 2）
8y-56 = x + 2
x-8y + 58 = 0
问题2 ：
y = x-正弦x cos x，x =π/ 2
解决方案：
当x =π/ 2时，y = x-sin x cos x。
|
y =π/ 2-正弦π/ 2cosπ/ 2 =π/ 2-（1）（0） =π/ 2 dy / dx = 1- [sin x（-sin x）+ cos x（cos x）] = 1-[-sin 2 x + cos 2 x] = 1 [cos 2 x-sin 2 x] = 1-cos 2x x =π/ 2处的切线斜率 = 1-cos2（π/ 2） = 1-cosπ = 2 因此，所需的点是（π/ 2，π/ 2） 切线方程： （yy 1）= m（xx 1） [y-（π/ 2）] = 2 [x-（π/ 2）] [y-（π/ 2）] = 2x-π 2x-y-π+（π/ 2）= 0 2x-y-（π/ 2）= 0 正态方程： （yy 1）=（-1 / m）（xx 1） [y-（π/ 2）] =（-1/2）[x-（π/ 2）] 2 [y-（π/ 2）] = -1 [x-（π/ 2）] 2y-π= -x +（π/ 2） x +2y-π-（π/ 2）= 0 x + 2y-（3π/ 2）= 0 问题3： y = 2sin 2 3x，在x =π/ 6 解决方案： y = 2sin 2 3x dy / dx = 2（2sin3x）（cos3x）3 = 6（2sin3x cos3x） = 6sin 2（3x） = 6sin6x
因此，所需的点是（π/ 6,2） 切线方程： （yy 1）= m（xx 1） （y-2）= 0 [x-（π/ 6）] y-2 = 0 正态方程： （yy 1）=（-1 / m）（xx 1） （yy 1）=（-1/0）（xx 1） 0（y-2）= -1 [x-（π/ 6）] 0 = -1 [x-（π/ 6）] x-（π/ 6）= 0 问题4： y =（1 + sin x）/ cos x，x =π/ 4时 解决方案： y =（1 + sin x）/ cos x dy / dx = [cos x（cos x）-（1 + sin x）（-sin x）] /cos²x = [cos 2 x + sinx + sin 2 x] / cos 2 x =（1 + sinx）/ cos 2 x x =π/ 4处的斜率 y =（1 +sinπ/ 4）/ cos 2π / 4 =（1+（1 /√2））/（1 /√2）2 = [（√2+ 1）/√2] /（1/2） = [（√2+ 1）/√2] ⋅ （2/1） =（√2+ 1）√2 y = 2 +2√2 y =（1 + sin x）/ cos x =（1 +sinπ/ 4）/cosπ/ 4 = [1+（1 /√2）] /（1 /√2） = [（√2+ 1）/√2] /（√2/ 1） =（√2+ 1） 因此，所需的点是（π/ 4，（√2+ 1）） 切线方程： （yy 1）= m（xx 1） [y-（√2+ 1）] =（2 +2√2）[x-（π/ 4）] 正态方程： （yy 1）=（-1 / m）（xx 1） [y-（√2+ 1）] = [-1 /（2 +2√2）] [x-（π/ 4）] |
|
更新:20210423 104225
