二次方程_隐藏的二次方程

二次方程例子：

二次方程的图很漂亮，像这样：

一般形式
二次方程式的一般形式是这样的：

a、b 和 c 是已知值，a 不能是 0。
"x" 是变量或未知数（我们还未知其值）。

更多例子：

2x² + 5x + 3 = 0		在这例子， a=2、b=5 和 c=3

x² − 3x = 0		这个有点巧妙： a 在哪里？其实，a=1，我们通常不这样写的： "1x²" b = -3 c 呢？c=0，所以不写出来。
5x − 3 = 0		哎呀！这个不是二次方程：没有 x² 换句话说，a=0，就不是二次式）

隐藏的二次方程！

二次方程的 "一般形式" 是 ax² + bx + c = 0

但二次方程有时看上去不是这样的！例如：

乔装	→	一般形式	a、b 和 c
x² = 3x − 1	把所有的项移到左边	x² − 3x + 1 = 0	a=1、b=−3、c=1
2(w² − 2w) = 5	展开（拆开括号），把5移到左边	2w² − 4w − 5 = 0	a=2, b=−4, c=−5
z(z−1) = 3	展开，把3移到左边	z² − z − 3 = 0	a=1, b=−1, c=−3

来玩玩

来玩玩"二次方程探测器"。你可以看到：

它画的图，和
方程的解（叫"根"）。

   怎样解方程？
   二次方程的 "解" 是方程等于零的地方。

   二次方程通常有两个解（"零点"），（如上图）

有三个解二次方程的方法：

一、我们可以因式分解二次式（找什么相乘可以得到这二次方程）

二、我们可以配方，或

三、我们可以用这专用的 二次公式:

二次公式：x = [ -b (+-) sqrt(b^2 - 4ac) ] / 2a

你只需代入 a、b 和 c 的值，然后算根的值。

我们现在来具体看看这个方法。

关于二次公式

正/负

先看看这个正/负号：±。

± 的意思是有两个答案：

二次公式：x = [ -b + sqrt(b^2 - 4ac) ] / 2a 和 x = [ -b - sqrt(b^2 - 4ac) ] / 2a

这是为什么有两个答案。

可是，有时候没有两个实数答案，我们看看 "判别式" 便知道：

判别式

看到上面公式里的 b² − 4ac 吗？这便是 判别式，因为它可以 "判别" 不同种类的可能答案：

当 b² - 4ac 是正数时，方程有两个实解
当判别式是零时，方程只有一个实解（两个相同的答案）
当判别式是负数时，方程有两个复解

复解？这个后边再谈。我们先看看怎样去用这个公式。

二次公式应用

把 a、b 和 c 的值代入二次公式，然后计算答案。

例子：解 5x² + 6x + 1 = 0

系数是：		a = 5、b = 6、c = 1

二次公式：		x = −b ± √(b²− 4ac)2a

代入 a、b 和 c：		x = −6 ± √(6²− 4×5×1)2×5

解：		x = −6 ± √(36− 20)10
		x = −6 ± √(16)10
		x = −6 ± 410
		x = −0.2 或 −1

答案： x = −0.2 或 x = −1

如图。

检验 -0.2:	5×(−0.2)² + 6×(−0.2) + 1 = 5×(0.04) + 6×(−0.2) + 1 = 0.2 − 1.2 + 1 = 0
检验 -1:	5×(−1)² + 6×(−1) + 1 = 5×(1) + 6×(−1) + 1 = 5 − 6 + 1 = 0

复解？

当判别式（b2 − 4ac 的值）是负数时，方程的解便是复解……这又是什么意思呢？

意思是答案会含有虚数。（一头雾水！）

例子：解 5x² + 2x + 1 = 0

系数是：		a = 5, b = 2, c = 1

注意：判别式是负数：		b² − 4ac = 2² − 4×5×1 = -16

用二次公式：		x = −2 ± √(−16)10

-16 的平方根是 4i (i 是 √-1，去虚数来了解更多）

结果：		x = −2 ± 4i10

答案： x = −0.2 ± 0.4i

图不经过 x轴。这就是为什么解是复数。

这其实更为简单：我们不需要做计算，只要写下 −0.2 ± 0.4i 就行了。

总结

二次方程的一般形式：ax² + bx + c = 0
二次方程可以被因式分解
二次公式：x = −b ± √(b²− 4ac)2a
当判别式(b²−4ac)为：
- 正数时，方程有 2 个实解
- 零时，方程有一个实解
- 负数时，方程有 2 个复解

更新:20210423 104212

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