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    三角法恒等式

    发布时间:2020-12-04 13:35:32 作者:冬青好 

      直角三角形,三角法恒等式是对于直角三角形来说是成立的方程,若不是直角三角形,你可以去 三角形恒等式 看看,

      直角三角形的每一条边都有个名字:

    20201204131843.png

      邻边一定实在角的旁边,对边是在角的对面,

    对边、邻边和斜边例子

      我们会学习很多不同的函数,但它们都是从一个简单的三角形衍生出来:角 θ  斜边  邻边  对边

      正弦、余弦和正切,三角法里的三个主要函数是 正弦、余弦和正切,它们只不过是 一边的长度除以另一边的长度,对于一个直角三角形,其中一个角(不是直角)为 θ

    20201204132231.png

    正弦函数:
    sin(θ) = 对边 / 斜边
    余弦函数:
    cos(θ) = 邻边 / 斜边
    正切函数:
    tan(θ) = 对边 / 邻边

      以给定角度 θ,这三个比是不变的,它们的值并不会随着三角形的大小而改变,

    把正弦除以余弦的结果是:

    三角 sin/cos = (对边/斜边) / (邻边/斜边e) = (对边) / (邻边)

      所以:tan(θ) = sin(θ)/cos(θ)

      这是第一个 三角法恒等式。余割、正割和余切我们也可以"反过来"除(例如 邻边/对边):

    三角形显示对边、邻边和斜边

    余割函数:
    csc(θ) = 斜边 / 对边
    正割函数:
    sec(θ) = 斜边 / 邻边
    余切函数:
    cot(θ) = 邻边 / 对边

     

     

      例子:若 对边 = 2,斜边 = 4,则,sin(θ) = 2/4, csc(θ) = 4/2,

      所以:sin(θ) = 1/csc(θ),cos(θ) = 1/sec(θ),tan(θ) = 1/cot(θ)

      反过来:csc(θ) = 1/sin(θ),sec(θ) = 1/cos(θ),cot(θ) = 1/tan(θ)

      同时:cot(θ) = cos(θ)/sin(θ)

      勾股定理,接下来我们从 勾股定理开始:

    直角三角形

    勾股定理说:在直角三角形里,a的平方加b的平方等于c的平方:

    a2 + b2 = c2

      除以 c2

    a2c2 = b2c2 = c2c2

      简化为:

    (ac)2 + (bc)2 = 1

      a/c  对边 / 斜边,就是 sin(θ) b/c  邻边 / 斜边,就是 cos(θ)

      所以 (a/c)2 + (b/c)2 = 1 也可以写成:sin2 θ + cos2 θ = 1

      注意:sin2 θ 的意思是 θ 的正弦的平方,sin θ2 的意思是 θ 的平方的正弦,

      例子:32°保留四位小数:sin(32°) = 0.5299……cos(32°) = 0.8480……求 sin2 θ + cos2 θ: 0.52992 + 0.84802 = 0.2808…… + 0.7191……= 0.9999……

      只用四位小数,答案已经非常接近1。用你的计算器来试试看!

      以下是一些相关的恒等式:

    sin2 θ = 1 − cos2 θ
    cos2 θ = 1 − sin2 θ
    tan2 θ + 1 = sec2 θ
    tan2 θ = sec2 θ − 1
    cot2 θ + 1 = csc2 θ
    cot2 θ = csc2 θ − 1

      怎样去记住这么多的恒等式?

    20201204133116.png

      以上的恒等式都可以用,一个巧妙的 魔法六边形来记:

      慢着,还有更多!还有很多恒等式,以下是一些比较有用的:对角恒等式,

      sin(−θ) = −sin(θ)
      cos(−θ) = cos(θ)
      tan(−θ) = −tan(θ)

     双角恒等式

    20201204133304.png

      半角恒等式,注意: "±" 的意思是 其中一个,视 θ/2 的值而定,

    20201204133346.png

      角度和与角度差恒等式,注意: 加/减 的意思是可以用加或减,减/加 的意思是用相反的正负号。

      三角形恒等式,还有三角形恒等式,它们适用于所有三角形,不只是直角三角形,

     

    更新:20210423 104225     


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