直角三角形,三角法恒等式是对于直角三角形来说是成立的方程,若不是直角三角形,你可以去 三角形恒等式 看看,
直角三角形的每一条边都有个名字:
邻边一定实在角的旁边,对边是在角的对面,
我们会学习很多不同的函数,但它们都是从一个简单的三角形衍生出来:角 θ 斜边 邻边 对边
正弦、余弦和正切,三角法里的三个主要函数是 正弦、余弦和正切,它们只不过是 一边的长度除以另一边的长度,对于一个直角三角形,其中一个角(不是直角)为 θ:
正弦函数:
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sin(θ) = 对边 / 斜边 |
余弦函数:
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cos(θ) = 邻边 / 斜边 |
正切函数:
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tan(θ) = 对边 / 邻边 |
以给定角度 θ,这三个比是不变的,它们的值并不会随着三角形的大小而改变,
把正弦除以余弦的结果是:
所以:tan(θ) = sin(θ)/cos(θ)
这是第一个 三角法恒等式。余割、正割和余切我们也可以"反过来"除(例如 邻边/对边):
余割函数:
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csc(θ) = 斜边 / 对边 |
正割函数:
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sec(θ) = 斜边 / 邻边 |
余切函数:
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cot(θ) = 邻边 / 对边 |
例子:若 对边 = 2,斜边 = 4,则,sin(θ) = 2/4, csc(θ) = 4/2,
所以:sin(θ) = 1/csc(θ),cos(θ) = 1/sec(θ),tan(θ) = 1/cot(θ)
反过来:csc(θ) = 1/sin(θ),sec(θ) = 1/cos(θ),cot(θ) = 1/tan(θ)
同时:cot(θ) = cos(θ)/sin(θ)
勾股定理,接下来我们从 勾股定理开始:
勾股定理说:在直角三角形里,a的平方加b的平方等于c的平方: a2 + b2 = c2 |
除以 c2:
a2c2 = b2c2 = c2c2
简化为:
(ac)2 + (bc)2 = 1
a/c 是 对边 / 斜边,就是 sin(θ) b/c 是 邻边 / 斜边,就是 cos(θ)
所以 (a/c)2 + (b/c)2 = 1 也可以写成:sin2 θ + cos2 θ = 1
注意:sin2 θ 的意思是 θ 的正弦的平方,sin θ2 的意思是 θ 的平方的正弦,
例子:32°保留四位小数:sin(32°) = 0.5299……cos(32°) = 0.8480……求 sin2 θ + cos2 θ: 0.52992 + 0.84802 = 0.2808…… + 0.7191……= 0.9999……
只用四位小数,答案已经非常接近1。用你的计算器来试试看!
以下是一些相关的恒等式:
sin2 θ = 1 − cos2 θ
cos2 θ = 1 − sin2 θ
tan2 θ + 1 = sec2 θ
tan2 θ = sec2 θ − 1
cot2 θ + 1 = csc2 θ
cot2 θ = csc2 θ − 1
怎样去记住这么多的恒等式?
以上的恒等式都可以用,一个巧妙的 魔法六边形来记:
慢着,还有更多!还有很多恒等式,以下是一些比较有用的:对角恒等式,
sin(−θ) = −sin(θ)
cos(−θ) = cos(θ)
tan(−θ) = −tan(θ)
双角恒等式
半角恒等式,注意: "±" 的意思是 其中一个,视 θ/2 的值而定,
角度和与角度差恒等式,注意: 的意思是可以用加或减, 的意思是用相反的正负号。
三角形恒等式,还有三角形恒等式,它们适用于所有三角形,不只是直角三角形,
更新:20210423 104225