随着我们逐步进入“ 四边形”部分，我们对要处理的图形的类型越来越具体。最初，我们考虑了各种多边形，然后将其范围缩小到称为四边形的四边形多边形。从那里，我们了解了一种特殊的四边形，其相对的边是平行的，称为 平行四边形。在本节中，我们将通过研究不同的平行四边形的特性来变得更加具体。让我们了解什么使矩形，菱形和正方形成为特殊图形。
长方形
定义：矩形是具有四个直角的四边形。
注意，在矩形定义中使用“四边形”。我们还可以说矩形是具有四个直角的平行四边形，因为具有四个直角的四边形也是平行四边形（因为它们的相对侧将是平行的）。
矩形具有几个属性，可帮助将它们与其他平行四边形区分开。通过研究这些属性，我们将能够区分各种类型的平行四边形，并对其进行更具体的分类。请记住，本节中的所有图都具有平行四边形的属性。也就是说，他们都有
（1）相对的两边平行，
（2）相等的对角，
（3）相对的两面，
（4）连续的补充角度，以及
（5）对角线一分为二。
现在，让我们看一下使矩形成为特殊类型的平行四边形的属性。
（1）矩形的所有四个角均为直角。
（2）矩形的对角线是全等的。
菱形
定义：菱形是具有四个全等边的四边形。
与矩形的定义类似，在菱形的定义中我们可以使用“平行四边形”代替“四边形”。因此，菱形具有平行四边形的所有属性（如上所述），还有一些其他属性。让我们看看这些属性。
（1）菱形的连续边是一致的。
（2）菱形二等分对角的对角线。
（3）菱形的对角线是垂直的。
方格
定义：正方形是具有四个全等边和四个全等角的平行四边形。
注意，正方形的定义是矩形和菱形的定义的组合。因此，正方形既是矩形又是菱形，这意味着平行四边形，矩形和菱形的属性都适用于正方形。因为正方形具有所有这些不同属性的组合，所以它是非常特殊的四边形类型。
查看下面的四边形层次结构。此图显示了我们从四边形开始到正方形结束的多边形知识的进展。
请注意，有两个箭头指向正方形。这是因为正方形具有矩形和菱形的所有属性。
现在我们已经了解了矩形，菱形和正方形的属性，让我们进行一些练习，以评估我们对这种材料的理解。
练习1
将每个平行四边形标识为矩形，菱形或正方形。
回答：
首先，让我们看一下平行四边形A。该图显示它有四个全等边，并且对角线垂直相交。因为它的边是全等的，所以我们知道平行四边形不是矩形。平行四边形A的对角线垂直相交的事实无济于事，因为菱形和正方形均具有此特征。但是，平行四边形A顶部的角度不是直角。因此，我们知道它不是正方形。平行四边形A是菱形。
在平行四边形B中，我们看到有四个直角，并且成对的相对侧是全等的。但是，连续的边不是全等的，因此我们可以从选项中消除菱形和正方形。因此，平行四边形B是矩形。
现在让我们看一下平行四边形C。我们注意到它有一对直角和四个全等边。我们的倾向使我们认为这个平行四边形是一个正方形，但是让我们确保以防万一。我们知道给我们的两个直角之和为180°。因为四边形的内角为360°，所以我们知道其余两个角之和必须为 180°（因为360-180 = 180）。平行四边形的对角是全等的，这意味着缺失的角必须互为90°（因为180÷2 = 90）。这告诉我们平行四边形C中实际上有四个直角，因此我们知道它是一个正方形（和菱形）。
练习2
在下面找到给定矩形ABCD的x值。
回答：
我们知道ABCD是一个矩形，所以让我们使用一些矩形属性来帮助我们确定x是什么。看来此练习的重点是在图形的对角线上。从上面我们知道矩形的对角线是一致的，因此让我们将段AC和BD设置 为彼此相等：
因此，我们得到x = 12。
练习3
回答：
让我们检查一下从练习中获得的信息，以便从中推断出更多信息。我们知道EKIN是一个平行四边形，并且？1 ?? 2。由于EKIN是平行四边形，因此我们知道其相对侧是平行的。因此，段EK和 IN是平行的。
接下来，我们可以使用交替内角定理来主张？1 ?? 4 和？2 ?? 3。回想一下，当且仅当一个横向线与一对平行线相交时，交替的内角才是全等的。在这种情况下，我们的一对平行线是EK和IN，而横向是线段NK。
通过传递性，我们可以说？1 ?? 3和？2 ?? 4。让我们看一下我们的一致性链，以确保前面的陈述是正确的。
对角线将平行四边形分为两个三角形。事实上，由于每个三角形的两个角是一致的，我们可以说，？EKN和？INK 是等腰三角形。的的逆等腰三角形定理指出的等腰三角形全等角度的相反侧是一致的，所以我们知道，段EK是一致的细分EN，而段IK和IN是一致的。
现在，可以说段EK和IN是一致的，EN和IK也是一致的，因为平行四边形的相对边是一致的。通过传递性，我们知道EN？EK？IN？IK。让我们看看我们的新插图。
因此，平行四边形EKIN是菱形，因为它有四个全等边。我们的 两列几何证明这个练习如下所示。
练习4
为了使菱形PQRS为正方形，y的值必须是多少？
回答：
在计算出y之前，必须确定 x的值是多少。最终，我们希望菱形PQRS为正方形，这意味着PQRS应该具有四个直角。
让我们首先确定x是什么。这是相对简单的，因为我们可以将段PQ设置为等于PS：
现在我们知道x是什么了，我们可以将其插入给定角度的度量中。但是，首先，我们需要找出QSR的总度量值。我们知道我们希望PSR为90°。同样，我们知道一个正方形的二等分对角线的对角线。因此，ΔPSR应该被线段QS一分为二，将角度分成两个相等的45°角（因为90÷2 = 45）。现在，我们可以将QSR设置为 等于45°。我们得到：
现在，我们用7代替x：
因此，y的值必须为4，菱形PQRS才能为正方形。
更新:20210423 104209