在本课程中,我们将探讨几种三角恒等式的推导
cos(x + y)= cos x cos y -sin x sin y
和
sin(x + y)= sin x cos y + sin x cos y
也
cos 2 x = cos 2 x -sin 2 x
随着
sin 2 x = 2 sin x cos x
最后是DeMoivre的公式,
(cos x + i sin x)n = cos nx + i sin nx
使用欧拉公式。为了对正在发生的事情有一个很好的了解,您将需要有关级数展开和复数的先前知识!您可能需要首先刷新对这些主题的了解。
电源系列扩展
我们首先检查函数e x,sin x和cos x的幂级数展开。对于a = 0的情况,函数的幂级数通常从函数的泰勒级数中得出。在这种情况下,a = 0的情况称为MacLaurin级数。泰勒级数:
a = 0的情况是MacLaurin系列:
这些级数用于估计某个点附近的函数值。这就是我要说的。e x的幂级数;cos x和sin x来自其MacLaurin系列表示形式:
对于所有x。
对于所有x。
对于所有x。
复数和e x
复数是一个数字形式的一个+双向其中我是方程的根X 2 + 1 = 0和一个和b是实数。注意这一点,我们可以在ex的幂级数中使用i,因为对于所有x都成立。
对于所有x。
请记住,x 2 +1 = 0→ x = i,所以√-1= i → i 2 = -1,i 3 = -i,依此类推。因此,有选择地应用幂,我们得到
现在,我们可以重新排列条件并排除i,以便我们拥有
现在,如果我们在我们的COS系列表示回头X和罪恶X,我们有
e ix = cos x + i sin x
这个结论是巨大的。它被称为欧拉公式。从这里我们可以推论出一些三角恒等式以及一般情况的公式。让我们首先检查一个简单的推导:
e ix e iy =(cos x + i sin x)(cos y + i sin y)
但是,请记住,e x e y = e x + y。因此,我们有
e ix + iy = cos(x + y)+ i sin(x + y)=(cos x + i sin x)(cos y + i sin y)
= cos x cos y + i sin x cos y + i sin y cos x + i 2罪恶x罪恶y
现在我们可以重新安排它,以使复杂部分和实际部分分开。
所以我们有
e ix + iy = cos(x + y)+ i sin(x + y)=(cos x + i sin x)(cos y + i sin y)
= cos x cos y + i sin x cos y + i sin y cos x + i 2 sin x sin y
=(cos x cos y -sinx sin y)+(i sin x cos y + i sin y cos x)
取实部并将它们相等,我们得到熟悉的三角和公式:
cos(x + y)= cos x cos y -sin x sin y
并且
sin(x + y)= sin x cos y + sin y cos x
现在,假设我们有这样的东西:
e ix e ix = e ix + ix = e i2x = cos(x + x)+ i sin(x + x)
=(cos x + i sin x)(cos x + i sin x)
= cos x cos x + i sin x cos x + i sin x cos x + i 2 sin x罪恶x
如果我们等式的等式部分
cos 2 x = cos 2 x -sin 2 x
还有
sin 2 x = 2 sin x cos x
通常,我们可以通过这种方式获得任意角度倍数的公式。这导致我们得出另一个著名的公式,称为DeMoivre公式。DeMoivre公式可以通过考虑Euler公式的n个情况来导出。
e inx = cos nx + i sin nx
我们有兴趣证明
(cos x + i sin x)n = cos nx + i sin nx
这正是DeMoivre的公式。很明显,对于任何n都是如此。我们可以通过归纳证明所有n都是正确的。
(cos x + i sin x)n +1 =(cos x + i sin x)n(cos x + i sin x)
由此,我们应用了从上而来的关于第n个情况的知识。
=(cos nx + i sin nx)(cos x + i sin x)
我们现在可以相乘。
= cos nx cos x + i sin x cos nx + i sin nx cos x + i 2 sin nx sin x
从上面的工作中,我们已经证明可以将它们简化为求和公式,如下所示:
cos(nx + x)+ i sin(nx + x)= cos(n + 1)x + i sin(n + 1)x
因此,我们证明了
(cos x + i sin x)n = cos nx + i sin nx
对于所有n都是正确的。因此,我们证明了一些非常常见的三角恒等式是相关的,并且可以从级数展开和复数中得出!
更新:20210423 104211