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    使用欧拉公式获得三角恒等式

    发布时间:2020-10-24 14:10:37 作者:冬青好 

    在本课程中,我们将探讨几种三角恒等式的推导

    cos(x + y)= cos x cos y -sin x sin y

    sin(x + y)= sin x cos y + sin x cos y

    cos 2 x = cos 2 x -sin 2 x

    随着

    sin 2 x = 2 sin x cos x

    最后是DeMoivre的公式,

    (cos x + i sin xn = cos nx + i sin nx

    使用欧拉公式。为了对正在发生的事情有一个很好的了解,您将需要有关级数展开和复数的先前知识您可能需要首先刷新对这些主题的了解。

     

    电源系列扩展

    我们首先检查函数e x,sin x和cos x的幂级数展开对于a = 0的情况,函数的幂级数通常从函数的泰勒级数中得出。在这种情况下,a = 0的情况称为MacLaurin级数。泰勒级数:

    20201024140524.png

    a = 0的情况是MacLaurin系列:

    20201024140557.png

    这些级数用于估计某个点附近的函数值。这就是我要说的。e x的幂级数cos x和sin x来自其MacLaurin系列表示形式:

    20201024140634.png

    对于所有x。

    20201024140702.png

    对于所有x。

    20201024140739.png

     

    对于所有x。

    复数和e x

    复数是一个数字形式的一个+双向其中是方程的根X 2 + 1 = 0和一个b是实数。注意这一点,我们可以ex的幂级数中使用i因为对于所有x都成立

    20201024140810.png

    对于所有x。

    请记住,x 2 +1 = 0→ x = i,所以√-1= i  i 2 = -1,i 3 = -i依此类推因此,有选择地应用幂,我们得到20201024140842.png

    现在,我们可以重新排列条件并排除i,以便我们拥有

    20201024140927.png

    现在,如果我们在我们的COS系列表示回头X和罪恶X,我们有

    e ix = cos x + i sin x

    这个结论是巨大的。它被称为欧拉公式从这里我们可以推论出一些三角恒等式以及一般情况的公式。让我们首先检查一个简单的推导:

    e ix e iy =(cos x + i sin x)(cos y + i sin y

    但是,请记住,e x e y = e x + y因此,我们有

    e ix + iy = cos(x + y)+ i sin(x + y)=(cos x + i sin x)(cos y + i sin y
    = cos x cos y + i sin x cos y + i sin y cos x + i 2罪恶x罪恶y

    现在我们可以重新安排它,以使复杂部分和实际部分分开。

    所以我们有

    e ix + iy = cos(x + y)+ i sin(x + y)=(cos x + i sin x)(cos y + i sin y
    = cos x cos y + i sin x cos y + i sin y cos x + i 2 sin x sin y
    =(cos x cos y -sinx sin y)+(i sin x cos y + i sin y cos x

    取实部并将它们相等,我们得到熟悉的三角和公式:

    cos(x + y)= cos x cos y -sin x sin y

    并且

    sin(x + y)= sin x cos y + sin y cos x

    现在,假设我们有这样的东西:

    e ix e ix = e ix + ix = e i2x = cos(x + x)+ i sin(x + x
    =(cos x + i sin x)(cos x + i sin x
    = cos x cos x + i sin x cos x + i sin x cos x + i 2 sin x罪恶x

    如果我们等式的等式部分

    cos 2 x = cos 2 x -sin 2 x

    还有

    sin 2 x = 2 sin x cos x

    通常,我们可以通过这种方式获得任意角度倍数的公式。这导致我们得出另一个著名的公式,称为DeMoivre公式。DeMoivre公式可以通过考虑Euler公式n个情况来导出

    e inx = cos nx + i sin nx

    我们有兴趣证明

    (cos x + i sin xn = cos nx + i sin nx

    正是DeMoivre的公式。很明显,对于任何n都是如此我们可以通过归纳证明所有n都是正确的

    (cos x + i sin xn +1 =(cos x + i sin xn(cos x + i sin x

    由此,我们应用了从上而来的关于第n个情况的知识。

    =(cos nx + i sin nx)(cos x + i sin x

    我们现在可以相乘。

    = cos nx cos x + i sin x cos nx + i sin nx cos x + i 2 sin nx sin x

    从上面的工作中,我们已经证明可以将它们简化为求和公式,如下所示:

    cos(nx + x)+ i sin(nx + x)= cos(n + 1)x + i sin(n + 1)x

    因此,我们证明了

    (cos x + i sin xn = cos nx + i sin nx

    对于所有n都是正确的因此,我们证明了一些非常常见的三角恒等式是相关的,并且可以从级数展开和复数中得出!

    更新:20210423 104211     


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