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    复数|如何以图形方式预想复数|复平面

    发布时间:2020-10-25 15:06:46 作者:冬青好 

    如何以图形方式预想复数:复平面

    20201025145433.png

    • 复数x + yi对应于具有坐标(x,y)的点
    • x轴是实轴
    • y轴是虚轴
    • 实数与x轴上的点关联
                。例如:x = x + 0i <--=“”>(x,0)
    • 虚数与y轴上的点关联
                。例如:yi = 0 + yi <--=“”>(0,y)

    如何在复杂平面中找到点(P)

    • 复平面中的任何点都可以通过坐标对(r,θ)来识别
    • r =从原点到点P的距离(即线段OP)
    • θ=从正x轴(在象限I和IV之间)到段OP的角度
    • 终端侧的所有点都可以表示为(r cosθ,r sinθ)
                -因为cosθ=相邻/斜边,而斜边= r,为了求解θ,可以继续进行:cosθ= x / r。
                 对于x求解,将导致x = r
                cosθ-正相反,由于sinθ=相对/斜边,因此对θ的求解将导致sinθ= y / r。
                 求解y将导致y = r sinθ
    • 完全拼合:-
                如果我们有复数x +
                yi-那么P具有坐标(x,y)-
                并且x = r cosθ,y = r sinθ
    • 三角形式

    • 20201025145520.png

     

    • “ x + yi”的三角形式为r(cosθ+ i sinθ)
                -这可以从更早的等式中得出。因为当我们有x + yi时,我们发现x = r cosθ和
                 y = r sinθ,我们可以分别用r cosθ和r sinθ替换x和y:
                          x + yi =(r cosθ)+( r sinθ)i-
                通过分解“ r”并乘以“ i”,结果变为:
                          r(cosθ+ i sinθ)
    • r =模数或绝对值
                r =(x 2 + y 21/2
                r =必须为非负数
    • θ=复数
                的论点-与θ的任意角度共角也是相同复数的论点
                tanθ= y / x->θ=反正切tan(y / x)

    矩形(标准)形式

    • 矩形形式为“ x + yi”

    如何从矩形形式更改为三角形式

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    • 如果A = 2 + 2i-
                首先,找到“ r”。请记住, “R” -所谓的弹性模量-是由形成斜边的绝对值
                 侧的“x”和“y”
                          R =√(2 2 + 2 2
                             R =√(4 + 4)
                             R =√8
                             ř =
                2√2-接下来,找到θ。请记住,θ被称为自变量,并且可以通过以下公式找到:
                 tanθ= y / x,因为“ r”与“ x轴”形成的角的切线等于对边
                 除以相邻边(即y值除以x值)。
                          θ=反正切(y / x)
                             θ=反正切(2/2)
                             θ=反正切(1)
                             θ= 45°
    • 然后通过插入“ r”和“θ”来找到三角形式:
                A = r(cosθ+ i sinθ)
                A =2√2(cos 45°+ i sin 45°)

    如何从三角形式更改为矩形形式

    20201025145635.png

    • 如果B =3√3(cos 330°+ i sin 330°)
                r =3√3cos
                330°=√(3/2)
                sin 330°= -1/2
    • 然后3√3(√(3/2)+ -1/2 i)-> 9/2-i(3√3)/ 2

    如何以正确的三角形式表示复数

    20201025145635.png

    • 始终牢记有关正确的三角形式的一些要点:
                -模数(r)必须始终为非负值。
                          这是从点本身到原点的对角线的绝对值。
                -括号表达式必须采用以下形式:cosθ+ i sinθ。
                          确保将每一项写成正数。
    • 示例:z = 2(cos 30°-i sin 30°)
                -首先,以矩形形式表示z:
                          2(√(3/2)
                -1/2 i)-> √3-1-1i-因此,在图形上,这将包括向右移动√3个单位,向下移动1个单位,从而在
                 象限IV中产生一个点
                          r =√((√3)2 +1 2)->√4->√2
                          使用tanθ= y / x,我们得出:
                               tanθ= 1 /√3-> arctan 1 /√3= -30° ->因此,θ= -30°-
                最后,代入:
                          z = 2 [cos(-30°)+ i sin(-30°)]

    三角形式的乘法与除法

    • 注意:虽然矩形形式使复数的加/减易于理解,但三角形式是出于乘法/除法目的构想复数的最佳方法。
    • 如果你打算两个复数,Z1 = R1(COSθ1+我的罪θ1),和Z2 = R2(COSθ2+我的罪θ2),该产品是通过以下几个简单的步骤推导:
                -乘模量,以找到产品模量:R1 R2时代
                -添加参数,找到和参数:cos(θ1+θ2)+我的罪(θ1+θ2)
                -Multiply由总和参数的产品模量:R1R2 [COS(θ1+θ2) + i sin(θ1+θ2)]
    • 分两个复数:
                -分割模量,以获得商模量:R1 / R2
                -减去的参数,以获得差异的说法:COS(θ1 - θ2)+我的罪(θ1 - θ2)
                -Multiply商模数由差分参数:r1 / r2 [cos(θ1–θ2)+ i sin(θ1–θ2)]
    • 示例:
                 z1 =√(3/2 +(1/2)i
                 z2 = -2 – 2i
                 求z1 * z2:
                          (1)用三角形式表示每个
                               z1 = 2(cos 30°+ i sin 30°)
                               z2 = 2√2(cos 225°+ i sin 225°)
                          (2)乘模:
                               2 *2√2=4√2
                          (3)添加自变量:
                               cos(30°+ 225°)+ i(sin 30°+ 225 °)
                          (4)三角形=4√2[cos(30°+ 225°)+ i(正弦30°+ 225°)]
                               4√2[cos(255°)+ i(sin 255°)]
                 要查找矩形,请评估cos 255°和sin 255°并简化:
                          4√2[cos(255°)+ i(sin 255°) )]
                               使用总和和差公式:
                                   cos(a + b)= cos a cos b – sin a sin b
                                   sin(a + b)= sin a cos b + sin b cos a
                               使用计算器:
                                   cos 255°=-。 2588
                                   正弦255°= -.9659
                          -1.464 – 5.464i

    DeMoiver定理

    • 通过重复上面概述的乘法过程,可以得出DeMoivre定理,这使我们能够计算复数的幂和根。
    • 为了说明,如果我们继续将z = r(cosθ+ i sinθ)自身相乘,我们将得到:
                 z 2 = r 2cos2θ + i sin2θ 
                 z 3 = r 3(cos3θ + i sin3θ)
                 z 4 = r 4cos4θ+ i sin4θ 
    • 对于负指数,它以以下方式展开:
                 z -1 = r -1 [(cos(-θ))+ i sin(-θ)]
                 z -2 = r -2 [(cos(-2θ))+我犯罪(-2θ)]
    • DeMoivre定理通常正式表述为:
                 z n = r n(cosnθ+ i sinnθ)
    • 示例:
                 (1 +√3i)5-以
                          三角形式:
                               2(cos 60°+ i sin 60°)
                          -应用DeMoivre定理:
                               2 5 [cos 5(60°)+ i sin 5(60°)]
                               32( cos 300°+ i sin 300°)
                               32(1/2 + i(-√3)/ 2)
                               16 –(16√3)i

    复数的根

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    • 有关可视化复数根的一些基本知识:
                 -复数的n个根全部位于以原点为中心且半径=(r)(1 / n)的复平面内形成的圆上
                 -上的n个根圆都等距分布,从K = 0开始,一直到k = n-1,以自变量(即间隔)相差360°/ n进行
    • 公式:-
                 给定任何正整数n,则非零复数z(其中z = r(cosθ+ i sinθ))具有正好n个不同的n个根,由以下等式给出,其中k = 0, 1,2,....,(n-1):
                          W(sub k)=(r)^ n [cos(θ/ n + k * 360°/ n)+ i sin(θ/ n + k * 360°/ n)]
    • 示例:找到5 + 12i的第六根
                 (1)以三角形式写5 + 12i:
                          r =√(5 2 + 12 2)=
                          13θ=反正切(12/5)〜67.38°
                          因此,5 + 12i = 13(cosθ+ i sinθ)
                 (2)由于我们正在寻找第六个根(n = 6),因此将n替换为6并简化:
                          W(sub k)= 13 1/6 [cos(θ/ 6 + k * 360/6)+ i sin(θ/ 6 + k * 360/6)]
                          W(sub k)= 1.533 [cos(67.38 / 6 + k * 60)+ i sin 11.23 + 60k)]
                          W(sub k)= 1.533 [cos(11.23 + 60k)+ i sin(11.23 + 60k)]
                 (3)插入直到(n-1)的k的各种值,其中n = 6(由于第六个根) )。
                          K = 0-> 1.504 + .299i
                          K = 1-> .493 + 1.451i
                          K = 2-> -1.01 + 1.153i
                          K = 3-> -1.504 + -.299i
                          K = 4-> -.493 +- 1.451i
                          K = 5-> 1.01 + -1.153i

     

    更新:20210423 104211     


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