如何以图形方式预想复数:复平面
- 复数x + yi对应于具有坐标(x,y)的点
- x轴是实轴
- y轴是虚轴
- 实数与x轴上的点关联
。例如:x = x + 0i <--=“”>(x,0) - 虚数与y轴上的点关联
。例如:yi = 0 + yi <--=“”>(0,y)
如何在复杂平面中找到点(P)
- 复平面中的任何点都可以通过坐标对(r,θ)来识别
- r =从原点到点P的距离(即线段OP)
- θ=从正x轴(在象限I和IV之间)到段OP的角度
- 终端侧的所有点都可以表示为(r cosθ,r sinθ)
-因为cosθ=相邻/斜边,而斜边= r,为了求解θ,可以继续进行:cosθ= x / r。
对于x求解,将导致x = r
cosθ-正相反,由于sinθ=相对/斜边,因此对θ的求解将导致sinθ= y / r。
求解y将导致y = r sinθ - 完全拼合:-
如果我们有复数x +
yi-那么P具有坐标(x,y)-
并且x = r cosθ,y = r sinθ -
三角形式
- “ x + yi”的三角形式为r(cosθ+ i sinθ)
-这可以从更早的等式中得出。因为当我们有x + yi时,我们发现x = r cosθ和
y = r sinθ,我们可以分别用r cosθ和r sinθ替换x和y:
x + yi =(r cosθ)+( r sinθ)i-
通过分解“ r”并乘以“ i”,结果变为:
r(cosθ+ i sinθ) - r =模数或绝对值
r =(x 2 + y 2)1/2
r =必须为非负数 - θ=复数
的论点-与θ的任意角度共角也是相同复数的论点
tanθ= y / x->θ=反正切tan(y / x)
矩形(标准)形式
- 矩形形式为“ x + yi”
如何从矩形形式更改为三角形式
- 如果A = 2 + 2i-
首先,找到“ r”。请记住, “R” -所谓的弹性模量-是由形成斜边的绝对值
侧的“x”和“y”
R =√(2 2 + 2 2)
R =√(4 + 4)
R =√8
ř =
2√2-接下来,找到θ。请记住,θ被称为自变量,并且可以通过以下公式找到:
tanθ= y / x,因为“ r”与“ x轴”形成的角的切线等于对边
除以相邻边(即y值除以x值)。
θ=反正切(y / x)
θ=反正切(2/2)
θ=反正切(1)
θ= 45° - 然后通过插入“ r”和“θ”来找到三角形式:
A = r(cosθ+ i sinθ)
A =2√2(cos 45°+ i sin 45°)
如何从三角形式更改为矩形形式
- 如果B =3√3(cos 330°+ i sin 330°)
r =3√3cos
330°=√(3/2)
sin 330°= -1/2 - 然后3√3(√(3/2)+ -1/2 i)-> 9/2-i(3√3)/ 2
如何以正确的三角形式表示复数
- 始终牢记有关正确的三角形式的一些要点:
-模数(r)必须始终为非负值。
这是从点本身到原点的对角线的绝对值。
-括号表达式必须采用以下形式:cosθ+ i sinθ。
确保将每一项写成正数。 - 示例:z = 2(cos 30°-i sin 30°)
-首先,以矩形形式表示z:
2(√(3/2)
-1/2 i)-> √3-1-1i-因此,在图形上,这将包括向右移动√3个单位,向下移动1个单位,从而在
象限IV中产生一个点。
r =√((√3)2 +1 2)->√4->√2
使用tanθ= y / x,我们得出:
tanθ= 1 /√3-> arctan 1 /√3= -30° ->因此,θ= -30°-
最后,代入:
z = 2 [cos(-30°)+ i sin(-30°)]
三角形式的乘法与除法
- 注意:虽然矩形形式使复数的加/减易于理解,但三角形式是出于乘法/除法目的构想复数的最佳方法。
- 如果你打算乘两个复数,Z1 = R1(COSθ1+我的罪θ1),和Z2 = R2(COSθ2+我的罪θ2),该产品是通过以下几个简单的步骤推导:
-乘模量,以找到产品模量:R1 R2时代
-添加参数,找到和参数:cos(θ1+θ2)+我的罪(θ1+θ2)
-Multiply由总和参数的产品模量:R1R2 [COS(θ1+θ2) + i sin(θ1+θ2)] - 分两个复数:
-分割模量,以获得商模量:R1 / R2
-减去的参数,以获得差异的说法:COS(θ1 - θ2)+我的罪(θ1 - θ2)
-Multiply商模数由差分参数:r1 / r2 [cos(θ1–θ2)+ i sin(θ1–θ2)] - 示例:
z1 =√(3/2 +(1/2)i
z2 = -2 – 2i
求z1 * z2:
(1)用三角形式表示每个
z1 = 2(cos 30°+ i sin 30°)
z2 = 2√2(cos 225°+ i sin 225°)
(2)乘模:
2 *2√2=4√2
(3)添加自变量:
cos(30°+ 225°)+ i(sin 30°+ 225 °)
(4)三角形=4√2[cos(30°+ 225°)+ i(正弦30°+ 225°)]
4√2[cos(255°)+ i(sin 255°)]
要查找矩形,请评估cos 255°和sin 255°并简化:
4√2[cos(255°)+ i(sin 255°) )]
使用总和和差公式:
cos(a + b)= cos a cos b – sin a sin b
sin(a + b)= sin a cos b + sin b cos a
使用计算器:
cos 255°=-。 2588
正弦255°= -.9659
-1.464 – 5.464i
DeMoiver定理
- 通过重复上面概述的乘法过程,可以得出DeMoivre定理,这使我们能够计算复数的幂和根。
- 为了说明,如果我们继续将z = r(cosθ+ i sinθ)自身相乘,我们将得到:
z 2 = r 2(cos2θ + i sin2θ )
z 3 = r 3(cos3θ + i sin3θ)
z 4 = r 4(cos4θ+ i sin4θ ) - 对于负指数,它以以下方式展开:
z -1 = r -1 [(cos(-θ))+ i sin(-θ)]
z -2 = r -2 [(cos(-2θ))+我犯罪(-2θ)] - DeMoivre定理通常正式表述为:
z n = r n(cosnθ+ i sinnθ) - 示例:
(1 +√3i)5-以
三角形式:
2(cos 60°+ i sin 60°)
-应用DeMoivre定理:
2 5 [cos 5(60°)+ i sin 5(60°)]
32( cos 300°+ i sin 300°)
32(1/2 + i(-√3)/ 2)
16 –(16√3)i
复数的根
- 有关可视化复数根的一些基本知识:
-复数的n个根全部位于以原点为中心且半径=(r)(1 / n)的复平面内形成的圆上
-上的n个根圆都等距分布,从K = 0开始,一直到k = n-1,以自变量(即间隔)相差360°/ n进行 - 公式:-
给定任何正整数n,则非零复数z(其中z = r(cosθ+ i sinθ))具有正好n个不同的第n个根,由以下等式给出,其中k = 0, 1,2,....,(n-1):
W(sub k)=(r)^ n [cos(θ/ n + k * 360°/ n)+ i sin(θ/ n + k * 360°/ n)] - 示例:找到5 + 12i的第六根
(1)以三角形式写5 + 12i:
r =√(5 2 + 12 2)=
13θ=反正切(12/5)〜67.38°
因此,5 + 12i = 13(cosθ+ i sinθ)
(2)由于我们正在寻找第六个根(n = 6),因此将n替换为6并简化:
W(sub k)= 13 1/6 [cos(θ/ 6 + k * 360/6)+ i sin(θ/ 6 + k * 360/6)]
W(sub k)= 1.533 [cos(67.38 / 6 + k * 60)+ i sin 11.23 + 60k)]
W(sub k)= 1.533 [cos(11.23 + 60k)+ i sin(11.23 + 60k)]
(3)插入直到(n-1)的k的各种值,其中n = 6(由于第六个根) )。
K = 0-> 1.504 + .299i
K = 1-> .493 + 1.451i
K = 2-> -1.01 + 1.153i
K = 3-> -1.504 + -.299i
K = 4-> -.493 +- 1.451i
K = 5-> 1.01 + -1.153i
更新:20210423 104211