正交中心是三角形的三个高度相交或相交的点。在这里，高度是从三角形的顶点画出的线，并垂直于另一边。因为三角形有三个顶点和三条边，所以有三个高度。还要学习三角形的外心。
对于不同类型的三角形，例如等腰三角形、等边三角形、不等边三角形、直角三角形等，正交中心会有所不同。对于等边三角形，质心将是正交中心。但其他三角形的位置不同。正交中心不需要只位于三角形的内部，在钝角三角形的情况下，它位于三角形的外部。
三角形的正交中心
三角形的正交中心是从顶点到三角形相反侧的垂线彼此相交的点。
- 对于锐角三角形，其正心位于三角形内部。
- 对于钝角三角形，其正心位于三角形外部。
- 对于直角三角形，正交中心位于直角的顶点上。
以三角形ABC为例。
在上图中，您可以看到从顶点A，B和C分别绘制到相对边BC，AC和AB的垂直线AD，BE和CF在单个点O处彼此相交。该点是正交中心△ABC。
正交中心公式
正交中心公式用于查找其坐标。让我们考虑一个如上图所示的三角形ABC，其中AD，BE和CF是从顶点A（x 1，y 1），B（x 2，y 2）和C（x 3， y 3）。O是三个海拔高度的交点。
首先，我们需要通过以下公式计算三角形边的斜率：
m = y2-y1/x2-x1
现在，三角形ABC高度的斜率就是直线的垂直斜率。
线的垂直斜率= -1 /线的斜率= -1 / m
令AC的斜率由m AC给出。因此，
mAC = y3-y1/x3-x1
同样，mBC = (y3-y2)/(x3-x2)
现在，各个高度的斜率是：
BE的斜率，mBE = -1/mAC
AD的斜率，mAD = -1/mBC
现在，在这里我们将使用斜率点形式方程或直线找到与BE和AD一致的直线方程。
因此，
mBE = (y-y2)/(x-x2)
mAD = (y-y1)/(x-x1)
因此，我们将在此处得到两个易于求解的方程。因此，x和y的值将给出正交中心的坐标。
正交中心的性质
正交中心是从三角形的顶点到相对两侧绘制的海拔高度的交点。
- 对于锐角三角形，它位于三角形内部。
- 对于钝角三角形，它位于三角形之外。
- 对于直角三角形，它位于直角的顶点上。
- 正交中心将高度划分成的部分的乘积对于所有3个垂直方向都是等效的。
正交中心的构建
要构造三角形的正交中心，没有特定的公式，但是我们必须获取三角形顶点的坐标。假设我们有一个三角形ABC，我们需要找到它的正交中心。然后执行以下步骤；
- 我们要做的第一件事是使用斜率公式找到BC边的斜率，即m = y2-y1/x2-x1
- 线AD的斜率是BC的垂直斜率。
- 现在，从点A和直线AD的斜率，使用点斜率公式编写直线方程：y2-y1 = m (x2-x1)
- 再次使用斜率公式找到侧面AC的斜率。
- AC的垂直斜率是直线BE的斜率。
- 现在，从直线BE的点B和斜率，使用点斜率公式写直线方程：y-y1 = m (x-x1)
- 现在，我们有两个直线方程，分别是AD和BE。
- 延长两条线以找到相交点。
- AD和BE相遇的点是正交中心。
注意：如果我们能够找到三角形两侧的斜率，则可以找到正心，也不必找到第三侧的斜率。
正交中心示例
题：
找出顶点为A（-5，3），B（1、7），C（7，-5）的三角形的正交中心。
解：
让我们用上一节中给出的步骤解决问题；
1.侧面AB的斜率= y2-y1/x2-x1 = 7-3/1+5=4/6=⅔
2. AB的垂直斜率= -3/2
3.对于点C（7，-5）和CF = -3/2的斜率，CF的方程为y – y1 = m (x – x1)（点斜率形式）
4.替换上式中的值。
(y + 5) = -3/2(x – 7)
2(y + 5) = -3(x – 7)
2y + 10 = -3x + 21
3x + 2y = 11 ………………………………….(1)
5.边BC的斜率= y2-y1/x2-x1 = (-5-7)/(7-1) = -12/6=-2
6. BC的垂直斜率=½
7.现在，AD线的方程为y – y1 = m (x – x1)（点斜率形式）
(y-3) = ½(x+5)
解决我们得到的方程式
x-2y = -11…………………………………………(2)
8.现在，当我们求解方程式1和2时，我们得到x和y值。
其中x = 0和y = 11/2 = 5.5
因此（0，5.5）是三角形的正交中心的坐标。
更新:20210423 104220